אוולוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אסטרואידה - אוולוט של אליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור \gamma : [0,L] \to \mathbb{R}^2 בפרמטריזציה טבעית, האוולוטאנגלית: Evolute) מוגדר להיות המקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה (מרכז העקמומיות לנקודה s הוא הנקודה בה נמצא מרכז המעגל הנושק לעקומה ב-\ \gamma(s)). בנוסחה, האוולוט נתון על ידי:

\vec{E}(s) = \vec{\gamma}(s) + R(s) \vec{n}(s) = \vec{\gamma}(s) + \frac{1}{k(s)}\vec{n}(s)

כאשר k היא העקמומיות (נתונה לפי משוואות פרנה על ידי \ \frac{d \vec{v}}{ds} = \vec{v}'(s) = k(s) \vec{n}(s) או בנוסחה מפורשת \ k(s) = \langle \vec{\gamma}''(s) , \vec{n}(s) \rangle) ו-\ R(s)=\frac{1}{k(s)} הוא רדיוס העקמומיות ואילו-\vec{n}(s) הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה \vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s) ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לאפיין את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

\ (\tau , s) \longmapsto \vec{F}(\tau ,s) = \vec{\gamma}(s) + \tau \vec{n}(s).

במקום זה, המתקבל עבור \ \tau = 1/k(s), הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן \ ( \tau , s) לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאוולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: \ k(s), k'(s) \ne 0) על האוולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה.

\ \int_{s_1}^{s_2} | E'(s) | ds = \int_{s_1}^{s_2} \left| \left( \frac{d}{ds} R'(s) \right)  \vec{n}(s) \right| ds = \int_{s_1}^{s_2} | R'(s) | ds = \left| \int_{s_1}^{s_2} R'(s)ds \right| = \left| R(s_2) - R(s_1) \right|

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

\ \vec{E}'(s) = \gamma'(s) + R'(s) \vec{n}(s) + R(s) \vec{n}'(s) = \vec{v}(s) + R'(s) \vec{n}(s) - R(s)k(s)\vec{v}(s) = R'(s) \vec{n}(s)

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "Conics" ("חרוטים") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה) אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]