אוולוט

אסטרואידה - אוולוט של אליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור $\gamma : [0,L] \to \mathbb{R}^2$ בפרמטריזציה טבעית, האוולוט (באנגלית: Evolute) מוגדר להיות המקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה (מרכז העקמומיות לנקודה s הוא הנקודה בה נמצא מרכז המעגל המשיק לעקומה ב-$\ \gamma(s)$). בנוסחה, האוולוט נתון על ידי:

$\vec{E}(s) = \vec{\gamma}(s) + R(s) \vec{n}(s) = \vec{\gamma}(s) + \frac{1}{k(s)}\vec{n}(s)$

כאשר k היא העקמומיות (נתונה לפי משוואות פרנה על ידי $\ \frac{d \vec{v}}{ds} = \vec{v}'(s) = k(s) \vec{n}(s)$ או בנוסחה מפורשת $\ k(s) = \langle \vec{\gamma}''(s) , \vec{n}(s) \rangle$) ו-$\ R(s)=\frac{1}{k(s)}$ הוא רדיוס העקמומיות ואילו-$\vec{n}(s)$ הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה $\vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s)$ ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לאפיין את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה $\ (\tau , s) \to \vec{F}(\tau ,s) = \vec{\gamma}(s) + \tau \vec{n}(s)$. במקום זה, המתקבל עבור $\ \tau = 1/k(s)$, הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן $\ ( \tau , s)$ לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאוולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: $\ k(s), k'(s) \ne 0$) על האוולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה.

$\ \int_{s_1}^{s_2} | E'(s) | ds = \int_{s_1}^{s_2} \left| \left( \frac{d}{ds} R'(s) \right) \vec{n}(s) \right| ds = \int_{s_1}^{s_2} | R'(s) | ds = \left| \int_{s_1}^{s_2} R'(s)ds \right| = \left| R(s_2) - R(s_1) \right|$

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

$\ \vec{E}'(s) = \gamma'(s) + R'(s) \vec{n}(s) + R(s) \vec{n}'(s) = \vec{v}(s) + R'(s) \vec{n}(s) - R(s)k(s)\vec{v}(s) = R'(s) \vec{n}(s)$

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "Conics" ("חרוטים") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה) אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

ראו גם

• אינוולוט

קישורים חיצוניים

• אוולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.