אווריסט גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אווריסט גלואה
Évariste Galois
1811 - 1832

תרומות עיקריות

ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה.

נתונים נוספים
ענף מדעי	מתמטיקה
ארצות מגורים	צרפת

אווריסט גלואה (בצרפתית: Évariste Galois;‏ 25 באוקטובר 1811 - 31 במאי 1832), מתמטיקאי צרפתי, ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה. את שני תחומים מרכזיים אלו באלגברה מופשטת פיתח עוד בהיותו בשנות העשרה לחייו. גלואה לא זכה בחייו להכרה על עבודתו, שכן נהרג בדו-קרב קודם שהגיע לגיל 21.

הישגו הבולט ביותר היה פתרון בעיה שהטרידה את העולם המתמטי במשך מאות שנים - הוא הוכיח כי במקרה הכללי, לא ניתן לפתור משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה באמצעות נוסחה שמערבת את ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש בלבד, והראה מתי הדבר בכל זאת אפשרי.

[עריכה] ביוגרפיה

[עריכה] ילדות ונעורים

אווריסט גלואה נולד בבור-לה-רן (Bourg-la-Reine), עיירה קטנה בעיבורה של פאריס. אמו, אדלאיד מארי דימנטה, הייתה נצר למשפחת משפטנים ידועה. אביו, ניקולאס גבריאל גלואה, היה אדם משכיל שכיהן כראש העיירה.

עד גיל 12 למד גלואה בביתו כשאימו משמשת לו כמורה. לאחר מכן החל ללמוד בבית הספר "לואי הגדול" (Lycée Louis-le-Grand) הנמצא בפאריס - בית ספר נודע, שבין תלמידיו המפורסמים היו גם רובספייר וויקטור הוגו. עד גיל זה נחשב לילד רגיש, שידע לחרוז שירים כאביו, ומלא שמחה. האווירה הקפואה במוסד, קשיחות המנהלים ובמיוחד אי ההבנות שהתפתחו בינו לבין מוריו גרמו לו לאבד את תכונותיו אלו. באחד הימים היה עד לגירוש המוני של תלמידים מבית הספר לאחר שמחו נגד מה שתפסו כריאקציות. גלואה הושפע מאירוע זה, שתרם לחוש הצדק המפותח שלו, תכונה שתהיה לו לרועץ במהלך חייו הקצרים.

בשנת לימודיו השנייה החל גלואה משתעמם בשיעורי הרטוריקה, אף שזכה לציונים לשבח במקצועות הלטינית והיוונית העתיקה, בזכות הידע שהעניקה לו אמו, אך כאשר גילה את קסם המתמטיקה זנח את כל המקצועות האחרים. הספר המתמטי הראשון שקרא היה ספר הגאומטריה (Éléments de Géométrie) של לז'נדר, שהיווה חידוש בתוכנית הלימודים באותה תקופה. האגדה מספרת כי גלואה קרא את הספר הכבד בתוך יומיים, אך למרות ההגזמה שבה, היא מתארת היטב כיצד שיקע גלואה את עצמו במתמטיקה, ואת ההתלהבות שהתעוררה בו. קודם שהגיע לגיל 14 הספיק להשתלט על ספרי יסוד באלגברה שהיו מיועדים למתמטיקאים מקצועיים.

חייו של גלואה בבית הספר נעשו קשים מיום ליום, בכל המקצועות שאינם מתמטיים הוא סומן כעושה צרות, והיה נענש תדירות. עד מהרה, הידע המתמטי שצבר עלה על זה של מוריו, והשיעורים הפכו לקלים מדי עבורו; אולם יכולתו לפתור את הבעיות המסובכות ביותר בכוח המחשבה בלבד וללא שימוש בנוסחאות, לא עמדה לו אצל מוריו. הם תבעו ממנו להסביר את פתרונותיו בפרטי פרטים, שהיו נטולי חשיבות לגביו, והדבר קומם אותו. מוריו לגלגו עליו באמרם כי פקחותו היא אגדה שאין הם יכולים לאשרה.

[עריכה] תחילת דרכו כמתמטיקאי

בגיל 16, מבלי שידע על עבודתו המוקדמת של אָבֶּל, סבר גלואה שעשה את הבלתי אפשרי, ופתר את המשוואה הכללית מהמעלה החמישית, וחזר על אותו משגה. למשך זמן קצר האמין שחולל את הפלא, אך לבסוף הודה בטעותו. הייתה זו רק אחת משורת תופעות זהות בחייהם של גלואה ואבל, המתמטיקאי הנורבגי הצעיר שמת חסר כל בגיל 26.

ורנייה, מורהו למתמטיקה, ניסה לשדלו לעבוד בצורה שיטתית ולהעלות את הפתרון על הכתב, אולם גלואה לא שעה לעצתו. ב-1828 הוא ניגש לבחינות הכניסה ל"אקול פוליטכניק" (École Polytechnique), שהיה באותה עת המוסד החשוב ביותר למתמטיקאים בצרפת, אך כיוון שלא התכונן באופן המקובל לבחינות אלה, נכשל. עד ניסיונו השני להתקבל למוסד, החל גלואה ללמוד במוסד מכובד מעט פחות, École préparatoire, שם מצא הערכה לכישוריו המתמטיים על אף אופיו הבעייתי.

אחד ממוריו, לואי פול אמיל רישאר, היה אחד הראשונים לזהות את הכשרון הגדול. ניתן ללמוד על כשרונו של גלואה מאמירתו של רישאר כי "תלמיד זה לומד אך ורק מתמטיקה גבוהה", ומכך שרישאר תבע כי גלואה יתקבל לאקול פוליטכניק ללא מבחני כניסה. באותה תקופה הגיע גלואה לכמה מהישגיו המרכזיים באלגברה.

ב-אפריל 1829 פרסם את מאמרו הקטן הראשון, שעסק בשברים משולבים והופיע בכתב העת Annales de mathématiques. במאמר זה סטה גלואה מתחום העניין העיקרי שלו - פתרונן של משוואות. לאחר מכן כינס את כל תגליותיו בשני חיבורים ומסרם לאקדמיה הצרפתית. החיבורים נתקבלו אצל המתמטיקאי המפורסם קושי, אולם המעשה לא הניב תוצאות. מכתב של קושי, שהתגלה רק בשנת 1971 בארכיון האקדמיה, מלמד שקושי אכן התרשם מכתבי היד ותכנן להציגם בפני האקדמיה, אך שלח אותם חזרה לגלואה עם דרישה שיסביר את תוצאותיו באופן בהיר ומפורט יותר, וכן שיאחד את שני החיבורים לאחד.

ב-2 ביולי 1829 התאבד אביו של גלואה, בעקבות עלילה שהעליל עליו כומר העיירה, שהתנגד לדיעותיו הליברליות של האב. בהלוויה התפתחה תיגרה בין תומכי האב למתנגדיו. האסון הותיר על גלואה חותם עמוק, והשפיע על מהלך חייו. לרוע מזלו של גלואה, בחינת הכניסה השנייה שלו לאקול פוליטכניק נערכה זמן קצר לאחר שאביו התאבד, בטרם הספיק להתאושש. לא ידוע במדויק מה קרה בבחינה, אך נראה כי גלואה הותיר רושם רע על בוחניו בשל הרגלו לחשב את כל החישובים המתמטיים בראשו ולרשום על הלוח רק את התוצאה הסופית, וסבלנותו פקעה לנוכח דרישתם שיסביר את חישוביו. האגדה מספרת כי בתסכולו הוא השליך את הסחבה ששימשה לניקוי הלוח על בוחניו. היה זה הקץ לתקוותו להירשם למוסד, שכן איש לא הורשה לגשת לבחינות הכניסה יותר מפעמיים.

לאחר כישלון זה התקבל גלואה ללימודים במוסד מכובד אחר, אם כי נחשב פחות מהפוליטכניק, ה- Ecole Normale בפריז. גלואה התקבל לאקול נורמל למרות שהתקשה בבחינות שעסקו במדעי הרוח - הבוחן שלו בספרות אמר ש"הוא אינו יודע דבר. סופר לי שלתלמיד הזה יש כישרון עצום במתמטיקה. זה מפתיע אותי מאוד". באותה שנה נתקל גלואה במאמר שחיבר אבל ופורסם לאחר מותו, ושעסק בנושא בו גלואה התעניין - פתרון משוואות אלגבריות. בעקבות המאמר איחד גלואה את שני חיבוריו הקודמים למאמר אחד, ובפברואר 1830 הגיש אותו, תחת השם "על התנאים לפתרון משוואה באמצעות שורשים", לתחרות שערכה האקדמיה למדעים. קושי התרשם מהמאמר, ואף העריך כי יזכה בתחרות. למרות שהמאמר פרץ דרך חשובה בתחומו, מזלו הרע של גלואה היכה שוב - מזכיר האקדמיה, ז'וזף פורייה, נטל את כתב היד לביתו, אך נפטר בטרם הגישו לוועדת הפרס. בשל כך המאמר כלל לא הגיע לעיון בוועדה, והפרס הוענק לאבל ולקרל גוסטב יעקובי, בעוד כתב היד של גלואה אבד ואיננו. למרות אכזבתו הקשה, שערערה את אמונו בממסד המדעי, פרסם גלואה שלושה מאמרים באותה שנה בכתב העת Bulletin de Férussac.

[עריכה] קריירה פוליטית

לאחר שמאמרו פורץ הדרך אבד בנבכי האקדמיה למדעים, חש גלואה כי הדבר נעשה במכוון, בשל דיעותיו הפוליטיות הקיצוניות. ממורמר מחוסר ההערכה לו זכה כמתמטיקאי, פנה גלואה להיאבק למען מטרות הרפובליקנים בצרפת.

מהפכת יולי 1830 מצאה את גלואה כסטודנט באקול נורמל. רבים מהסטודנטים היו שותפים לדעותיו הפוליטיות, אך לא כך מנהל המוסד, מיסייה גואיניו, שהיה מלוכני בהשקפתו. הואיל והיה מודע לדעותיהם של הסטודנטים במוסדו, סגר אותם גואיניו במעונות ונעל את שערי הקולג', במטרה למנוע מהם מלהשתתף בהפיכה. גלואה ניסה לטפס על חומת המוסד, נכשל, ונאלץ לוותר על השתתפות במהפכה, לתסכולו הרב. החיכוכים בין גלואה לבין הנהלת המוסד הלכו והחריפו, ובדצמבר 1830 פרסם גלואה בעיתון Gazette des Écoles מכתב שהוקיע את המוסד ואת מנהלו בשל צביעותם. אף שהמכתב פורסם תחת השם "תלמיד באקול נורמל", נפל החשד מיד על גלואה, שהיה ידוע במוסד יותר כעושה צרות מאשר כמתמטיקאי מוכשר, והוא גורש מן המוסד.

עוד בטרם גורש גלואה מהאקול נורמל הוא התגייס לגדוד הארטילרייה של המשמר הלאומי, אך זמן קצר לאחר שהצטרף הגדוד פורק, ב-31 בדצמבר 1830, וגלואה נותר ללא תעסוקה. כדי להתפרנס, הוא פתח קורס פרטי לאלגברה, אך נחל הצלחה מועטה בשל דרישותיו הגבוהות. גם במתמטיקה נחל באותה התקופה אכזבה נוספת - הוא הגיש שוב תזכיר לאקדמיה שעסק בפתרון משוואות, אך לא זכה לשום תגובה. המתמטיקאית סופי ז'רמן תיארה במכתב את מצבו העגום של גלואה, וכתבה שהיא חוששת כי עלול הוא לצאת לחלוטין מדעתו.

באפריל 1831 הואשמו 19 מאנשי הארטילריה של המשמר הלאומי בקשר להפלת המשטר. כולם זוכו, ולכבוד המאורע ערכו ב-9 במאי 1831 כמאתיים צעירים מתומכי הרפובליקה סעודה כדי לחגוג את האירוע. ביניהם היה גם גלואה וכן הסופר הצרפתי המפורסם אלכסנדר דיומא, שתיעד מאוחר יותר את השתלשלות האירועים. במהלך ארוחת הערב הרים גלואה את כוסו תוך שהוא אוחז בידו השנייה פגיון, וקרא "ללואי פיליפ!", קריאה שהתפרשה כאיום על חיי המלך. גלואה נעצר בבוקר המחרת והוחזק במעצר כחודש, עד אשר הועמד לדין ב-15 ביוני. במשפט טען גלואה כי אמר "ללואי פיליפ, אם יבגוד", וכי המילים האחרונות לא נשמעו בשל שריקות הבוז שעורר שמו של לואי פיליפ. גלואה זוכה לאחר דיון קצר בן חצי שעה.

מרמורו של גלואה הלך וגבר. ב-14 ביולי (יום הבסטיליה) הוא נעצר שנית בזמן הפגנה כשהוא לבוש במדי גדוד הארטילריה שפורק (לבישת המדים הייתה בלתי חוקית בזמן זה) ונושא כלי נשק. על גלואה הוטל עונש כבד יחסית של ששה חודשי מאסר, ואת זמנו בכלא בילה בעבודות מתמטיות. מצבו הנפשי התערער, והוא החל לשתות לשכרה לאחר ששותפיו למאסר הקניטו אותו. הרדיפות הפוליטיות לא נפסקו בהיותו במאסר - צלף ירה מעליית הגג לתוך תאו של גלואה, ופגע בשותפו לתא; גלואה היה משוכנע כי הכדור כוון אליו. בהיותו במאסר קיבל את תשובת האקדמיה לגבי מאמרו שהגיש ב-17 בינואר אותה שנה. התשובה נשלחה כבר בתחילת יולי, אך עקב מאסרו, הגיעה אליו רק באוקטובר. מצבו הנפשי הורע עוד יותר עקב החשש לחייו וחוסר ההערכה לעבודתו המתמטית (אותה ייחס לאפליה על רקע דעותיו הפוליטיות הקיצוניות), והוא ניסה לדקור את עצמו למוות בהיותו שתוי, אך ניצל הודות לשותפיו למאסר.

במרץ 1832, כחודש לפני תום מאסרו, פרצה מגפת כולרה בפאריס וכל האסירים שוחררו, ביניהם גלואה. מאוכזב מיחס האקדמיה למדעים לעבודתו, פרסם גלואה את מאמריו הבאים באופן פרטי דרך חברו אוגוסט שבלייה.

[עריכה] מותו בדו-קרב

הרקע לדו-קרב בו מצא גלואה את מותו לא ודאי עד היום. לפי גרסה אחת, ב-29 במאי 1832 הסתבך גלואה בקטטה עם יריב פוליטי והחל מעליבו לעיני כל. זה שלף חרבו להגן על כבודו, וכך גם עשה גלואה. על כן, הזמינו היריב לדו-קרב וגלואה, מפאת כבודו, הסכים, אף כי היה ברור לו כי מן ההתמודדות הזו לא יצא חי. על פי גרסה אחרת, הדו-קרב נערך על רקע רומנטי; קיימות עדויות שגלואה היה מאוהב באישה מאורסת בשם סטפני פליס דו-מוטל, וכאשר ארוסה גילה על יחסיה עם גלואה, הזמין אותו לדו-קרב. גרסה שלישית קושרת את המשטרה החשאית לדו-קרב, ולפיה אותה אישה נועדה לפתות את גלואה, ולגרום לו להיקלע לדו-קרב כנגד שוטר חשאי שהתחזה לארוסה של האישה.

גם לגבי יריבו בדו-קרב קיימות השערות שונות. אלכסנדר דיומא תיאר את היריב בשם Pescheux d'Herbinville, אחד מ-19 קציני הארטילריה שנעצרו ושוחררו במסגרת האירוע שבעקבותיו נעצר גלואה לראשונה. אולם פרסומים בעיתונות הפריזאית בימים שלאחר המוות הטרגי סותרים טענה זו, ורומזים לכיוונו של אחד מהשותפים לדעותיו הפוליטיות של גלואה, שאף היה כלוא איתו, Ernest Duchatelet. אין אישוש לגבי מי מההשערות, כך שזהות האדם שנטל את חייו של אחד המתמטיקאים הגדולים בהיסטוריה, אבדה.

גלואה היה משוכנע כי ימות ביום המחרת, ובשעותיו האחרונות כתב כמה מרעיונותיו המתמטיים, וכן מכתבים לאחדים מחבריו. אריק טמפל בל, היסטוריון של המתמטיקה ובעל נטייה לרומנטיקה, מתאר בספרו הנודע Men of Mathematics, את הלילה שלפני הקרב:

	את כל הלילה שלפני אותו קרב, בילה בכתיבת כל אותם רעיונות גדולים שצצו במוחו באותם ימים. מדי פעם כתב בשוליים "אין לי פנאי, עלי למהר". הדברים שכתב באותן שעות נואשות, בטרם יעלה השחר, יעסיקו אינספור מתמטיקאים במשך דורות רבים. באחד הדפים, יתברר מאוחר יותר כי בבוקרו של יום מותו, גילה הגאון הצעיר את הפתרון הנכון לבעיה שהציקה למתמטיקאים במשך מאות שנים. הוא מצא, אחת ולתמיד, פתרון לבעיה שהטרידה מתמטיקאים במשך דורות: באילו תנאים יש פתרון למשוואה.
-- אריק טמפל בל

תיאור זה של בל לוקה בדרמטיזציה יתרה, ועולה ממנו כאילו תורת החבורות נוצרה בין לילה. האמת היא שגלואה השתמש במושג "חבורה" עוד כשהיה בן 17, וחיבר במהלך השנים מאמרים אחדים בתחום זה. באחד מהמכתבים שכתב ערב מותו לידידיו התנצל על שהוא עומד למות שלא למען המולדת, ובאחר ציין שהוא יוצא לדו-קרב בניגוד לרצונו. במכתב לידידו שבלייה הוא מציין את פעילותו המתמטית:

	הגעתי לתגליות אחדות באנליזה. הראשונה עוסקת בתורת המשוואות, ואחרות בפונקציות אינטגרליות. בתורת המשוואות חקרתי את התנאים לקיום פתרון למשוואה. זה נתן לי הזדמנות להעמיק בתחום זה, ולתאר את הטרנספורמציות שניתן לערוך למשוואה גם כאשר אין לה פתרון. כל זה נמצא כאן בשלושה מאמרים.
-- אווריסט גלואה

גלואה המשיך ותיאר מאמר שנדחה על ידי פואסון, ומאמרים שחיבר לאחר מכן. במהלך הלילה תיקן גלואה מאמרים אלה, והוסיף להם הערות.

ב-30 במאי 1832, בבוקרו של יום נאה, נערך הדו-קרב. גלואה ויריבו התרחקו זה מזה 25 צעדים ושלפו אקדחים. גלואה נפגע במעיו עם היריה הראשונה ונפל ארצה. בניגוד למקובל, השאירו יריבו מוטל בשדה למשך שעות מספר. לפי גרסה אחת גלואה נאסף על ידי איכר שעבר לידו במקרה, ולפי גרסה אחרת על ידי אחיו הצעיר אלפרד, שהוזעק למקום ולקח אותו לבית החולים קוז'ין. מילותיו האחרונות של גלואה לאחיו היו: "אל תבכה! אני זקוק לכל עוז רוחי כדי להיפרד מהעולם בגיל עשרים". גלואה סירב לראות כומר, וב-31 במאי בשעה 10 בבוקר נפטר בבית החולים. מצבתו לא סומנה ומקום קבורתו לא נודע.

[עריכה] לאחר מותו

חרף כל הסערות שפקדו אותו, גלואה המשיך בעבודתו המתמטית עד יומו האחרון. עבודתו לא זכתה להכרה בחייו, ורק ב-1843, 11 שנים לאחר מותו, השקיע ג'וזף ליוביל חודשים אחדים בבדיקת כתבי היד שהותיר גלואה, והשתכנע בחשיבותם. שלוש שנים לאחר מכן, ב-1846, פורסם המאמר בכתב העת Journal des mathématiques pures et appliquées. תרומתו העיקרית הייתה הוכחה כי במקרה הכללי משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה אינן ניתנות לפתרון בנוסחה שמערבת שורשים, ואפיון התנאים תחתם הדבר כן ייתכן. כאמור, נילס הנריק אבל פרסם עוד ב-1824 הוכחה לפיה לא ניתן לפתור משוואות מהמעלה החמישית ומעלה באמצעות נוסחה כזו; גם מתמטיקאי בשם פאולו רופיני פרסם בשנת 1799 הוכחה לטענה, אך זו התגלתה כשגויה. החידוש בשיטתו של גלואה הייתה קביעתו לגבי כל משוואה מסוג זה - האם היא פתירה באמצעות רדיקלים, ואם כן, כיצד.

[עריכה] ראו גם

מונחים ואובייקטים מתמטיים שנקראו על-שם גלואה.

[עריכה] לקריאה נוספת

מריו ליביו, שפת הסימטריה, מהדורה עברית: תרגום מאנגלית עמנואל לוטם, הוצאת אריה ניר 2006.
סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000.