רדיקל ברינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אולטרה-שורש)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

רדיקל ברינגאנגלית: Bring radical או Ultraradical) של מספר מרוכב כלשהו a הוא שורש של הפולינום \ x^5+x+a. את המונח הגה המתמטיקאי השבדי ארלנד ברינג. רדיקל ברינג הוא פונקציה גזירה של a במישור המרוכב. רדיקל ברינג חשוב לפתרון משוואות ממעלה חמישית. ג'ורג' ג'רארד הציג דרכים של שימוש בו לפתרון משוואות ממעלה חמישית, דבר לא טריוויאלי, כי על פי העבודות של אווריסט גלואה ושל הנריק אבל שעסקו בשאלת הפתירות של משוואות, אין פתרון כללי על ידי רדיקלים של משוואות ממעלה חמישית ומעלה.

הגדרת הרדיקל[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי המשפט היסודי של האלגברה, למשוואה פולינומית ממעלה n יש בדיוק n מאפסים לאו דווקא שונים. לכן לפולינום ממעלה חמישית 5 שורשים. מכאן שלמשוואה \ x^5+x+a חמישה פתרונות (לפעמים פחות אבל ניתן להוכיח שיש יותר מ-1) ואחד מהם הוא רדיקל ברינג. הנה רשימה חלקית של קריטריונים על פיהם ניתן למצוא את רדיקל ברינג:

  • רדיקל ברינג של מספר ממשי הוא מספר ממשי.
  • רדיקל ברינג הוא פונקציה גזירה במישור המרוכב - דבר שמשפיע כמובן על צורתה.

דרכים לחשב את הרדיקל[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בטור טיילור אם נגדיר f(x)=x^5+x אז בגלל שאנחנו רוצים למצוא את x שמקיים x^5+x+a=0(כלומר המקיים f(x)+a=0 או בפשטות f(x)=-a) אם נגדיר את f^{-1}(x) בתור הפונקציה ההפוכה ל-f(x) אז אנחנו מחפשים את f^{-1}(a). בהינתן פונקציה אנחנו מסוגלים לפתח את טור טיילור של הפונקציה ההפוכה לה ויוצא שרדיקל ברינג שהוא f^{-1}(a) מקיים
f^{-1}(a)=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{5k}{k}\frac{(-1)^k a^{4k+1}}{4k+1}

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.