אופני תנודה עצמיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מספר אופני תנודה בסריג חד-ממדי

אופני תנודה (או אופני תנודה עצמיים, באנגלית: Normal Modes) במערכת מתנודדת (בדרך כלל אוסף של מתנדים (אוסצילטורים) הרמוניים מצומדים) הם מצבים מיוחדים בהם כל רכיבי המערכת מתנודדים באותה תדירות (הנקראת "תדירות עצמית" או "תדירות מותרת"). כל צורת תנודות אחרת של המערכת, מתקבלת על ידי סופורפוזיציה של אופני תנודה – כלומר, אופני התנודה מהווים בסיס לתנועות מורכבות יותר של המערכת. הקונספט של אופני תנודה הוא בעל חשיבות רבה בתורת הגלים, אופטיקה, הנדסת חשמל ומכניקת הקוונטים.

מציאת אופני תנודה מנצלת את כוחה של האלגברה הלינארית המיושמת לגבי מערכת לינארית של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. את המערכת אפשר לייצג בצורת וקטורים ומטריצה ואז ללכסן אותה, כלומר: לחפש את הוקטורים העצמיים שלה. וקטורים עצמיים אלה הם אופני התנודה של המערכת, והתדירויות העצמיות הן הערכים העצמיים המתאימים.

דוגמה - אופני תנודה של מתנדים מצומדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שני גופים, כל אחד בעל מסה M, מחוברים זה לזה באמצעות קפיץ בעל קבוע-קפיץ K. חיבורים מתואר באיור הבא:

Two masses.png

כאשר נקודות הקצה מקובעות ואינן יכולות לזוז. אנו נציין ב - \ x_1(t) את ההעתק של המסה השמאלית ממצב שיווי המשקל, וב \ x_2(t) נציין את ההעתק של המסה הימנית.

אם נציין את הנגזרת השנייה של ההעתק \ x(t) לפי הזמן בסימון \ x'' אזי המשוואות הן:


\ M x_1'' = - K (x_1) - K (x_1 - x_2)

\ M x_2'' = - K (x_2) - K (x_2 - x_1)

מאחר שאנו מצפים לפתרון מתנודד ננחש פתרון שהוא אופן תנודה ובו שתי המסות מתנודדות באותה תדירות:


\ x_1(t) = A_1 e^{i \omega t}

\ x_2(t) = A_2 e^{i \omega t}

בהצבתן במשוואות נקבל:


\ -\omega^2 M A_1 e^{i \omega t} = - 2 K A_1 e^{i \omega t} + K A_2 e^{i \omega t}

\ -\omega^2 M A_2 e^{i \omega t} = K A_1 e^{i \omega t} - 2 K A_2 e^{i \omega t}

מאחר שאיבר האקספוננט (ה"פאזה" של המערכת) שונה מאפס ומשותף לכולם, נצמצם בו. נפשט את המשוואות ונקבל:


\ (\omega^2 M - 2 K) A_1 + K A_2 = 0

\ K A_1 + (\omega^2 M - 2 K) A_2 = 0

ובייצוג מטריצי:


\begin{bmatrix}
\omega^2 M - 2 K & K \\
K & \omega^2 M - 2 K
\end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0

כדי שיהיה קיים למערכת זו פתרון לא-טריוויאלי (במשתנים A1 ו A2), על הדטרמיננטה להתאפס. כלומר:


\ (\omega^2 M - 2 K)^2 - K^2 = 0

נפתור עבור \omega, ונקבל:

\omega_1 = \sqrt{\frac{K}{M}}
\omega_2 = \sqrt{\frac{3 K}{M}}

אלו הן התדירויות העצמיות, כעת נחפש את הווקטורים העצמיים המתאימים.

אם נציב \omega_1 במטריצה ונפתור עבור(A_1, A_2), נקבל את הווקטור (1, 1). אם נציב \omega_2, נקבל את הווקטור (1, 1-).

אופן התנודה הראשון הוא


\xi_1(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_1 t + \phi_1)}

אופן התנודה השני הוא


 \xi_2(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_2 t + \phi_2)}

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של אופני התנודה כאשר c1, c2, φ1, ו φ2, נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה (במקרה שלנו, ההעתק והמהירות ההתחלתית של כל מסה).

התהליך שהודגם כאן גם ניתן להכללה, לניסוח ולביצוע גם בפורמליזם הלגראנז'י וההמילטוני (כלומר: מכניקה אנליטית עם לגראנז'יאן או המילטוניאן).

גלים עומדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – גל עומד

גל עומד הוא צורה רציפה של אופן תנודה. בגל עומד כל האלמנטים המרחביים (מיוצגים על ידי הקואורדינטות x,y,z) מתנודדים באותה תדירות ובאותה פאזה (מגיעים ביחד לנקודת שיווי המשקל), אך לכל אלמנט מרחבי אמפליטודה משלו.

Standing-wave05.png

המשוואה הכללית המתארת גל עומד היא


\ \Psi(t, \vec{r}) = f(x,y,z) (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))

כאשר \ f(x,y,z) מייצגת את "גל המעטפת", התלות של האמפליטודה במיקום במרחב, ואילו רכיבי הסינוס והקוסינוס מייצגים את התנודות בזמן.

מבחינה פיזיקלית, גלים עומדים נוצרים על ידי התאבכות: סופרפוזיציה של גלים (נוסעים) וההחזרות שלהם. חשוב לציין שאפשר לתאר זו גם להפך: גל נוסע הוא סופרפוזיציה של גלים עומדים. הצורה הגאומטרית של התווך בו מתרחשים התנודות קובעת את תבנית ההתאבכות, כלומר את צורת גל המעטפת \ f(x,y,z). פתרון רציף כזה נקרא אופן תנודה.

בדרך כלל, בבעיות עם תלות רציפה בקואורדינטות x,y,z אין מספר סופי של אופני תנודה, אלא יש מספר אינסופי של אופני תנודה אפשריים. אם הבעיה חסומה (כלומר: מוגדרת על קטע סופי וקומפקטי של המרחב) אז יש מספר בן מנייה (אינסוף בדיד) של אופני תנודה (בדרך כלל מסדרים אותה בסדרה לפי הערכים העצמיים). אם הבעיה איננה חסומה יש ספקטרום רציף של אינסוף אופני תנודה.

התדירויות המותרות תלויות באופני התנודה, וכן בקבועים הפיזיקליים של הבעיה (צפיפות התווך, מתיחות התווך, לחץ וכדומה) שקובעות את מהירות הפאזה של הגל. אוסף כל התדירויות המותרות נקרא ספקטרום התדירות של הבעיה. בדרך כלל, כל תדירות מדוגמת באמפליטודה (של אופן התנודה המתאים) או באנרגיה שהיא נושאת, ואז נוצר גרף של ספקטרום אנרגיה של התנודות.

במוזיקה, אופני תנודה של כלים רוטטים (כלי מיתר, חלילים וכלי נשיפה, תופים ועוד) נקראות הרמוניות או צלילים עיליים.

אופני תנודה במכניקת הקוונטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מכניקה קוונטית
Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משוואת שרדינגר

במכניקת הקוונטים, מצב של מערכת מתואר על ידי פונקציית גל \ | \psi \rang של (x, t) שפותרת את משוואת שרדינגר. הריבוע של הערך המוחלט של האמפליטודה \ | \psi \rang , כלומר


\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2

היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x בזמן t.

בדרך כלל, כאשר יש פוטנציאל בבעיה, פונקציית הגל מפורקת לסופרפוזיציה של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (מצבים עצמיים של האנרגיה), שכל אחד מהם "מתנודד" בתדירות  \omega = E_n / \hbar . לכן, אפשר לכתוב


|\psi (t) \rang = \sum_n |n\rang \left\langle n | \psi ( t=0) \right\rangle  e^{-iE_nt/\hbar}

כאן, למצב העצמי יש משמעות פיזיקלית נוספת. כאשר האנרגיה של המערכת נמדדת, פונקציית הגל קורסת לאחד המצבים העצמיים ונשארת שם. כלומר, אחרי המדידה: פונקציית הגל מתוארת על ידי מצב עצמי טהור שמתאים לאנרגיה שנמדדה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]