אופרטור אוניטרי

באלגברה לינארית, אופרטור אוניטרי הוא אופרטור לינארי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים, המקיים את התנאי $\ U U ^* = U^* U = 1$ , כאשר $\ U^*$ הוא הצמוד ההרמיטי של U (ו-1 הוא אופרטור הזהות) . באופן דומה, מטריצה ריבועית מרוכבת A היא אוניטרית אם $\ AA^*=I$ , כאשר $\ A^*$ הוא הצמוד המרוכב של המטריצה המשוחלפת $\ A^t$ (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור $\ \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ , ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הווקטורים) ו-I היא מטריצת היחידה.

הערך המוחלט של הדטרמיננטה של מטריצה אוניטרית כזאת הוא 1. מטריצה אוניטרית שהדטרמיננטה שלה שווה ל 1 נקראת "מיוחדת".

מטריצה ממשית אוניטרית היא מטריצה אורתוגונלית; העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי, וכן גם השורות שלה.

[עריכה] תכונות

$\ U U^* = U^* U = I$
אם A אופרטור הרמיטי אזי $\ U = \exp{(iA)}$ הוא אופרטור אוניטרי. גם ההפך נכון.
אופרטור אוניטרי שומר מכפלה פנימית מרוכבת: $\ \lang Ux , Uy \rang = \lang x , y \rang$ .
בפרט, אופרטור אוניטרי שומר נורמה: $\ \| Ux \| ^2 = \lang Ux , Ux \rang = \lang x , x \rang = \| x \|^2$
כאשר מדובר במטריצה: שורותיה (עמודותיה) מהוות בסיס אורתונורמלי.
האופרטור האוניטרי מעביר בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר. כלומר, אם הקבוצה $\ \{v_1, ..., v_n\}$ מהווה בסיס אורתונורמלי, אזי גם $\ \{U v _1, ..., U v_n\}$ מהוה בסיס אורתונורמלי.

[עריכה] משמעות

מטריצה אוניטרית היא מטריצה ששומרת גודל, כלומר: היא אינה מאריכה או מקצרת את אורכו של וקטור, אלא רק מסובבת או משקפת אותו. באופן יותר פורמלי, מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית וכן נורמה, הווה אומר: $\ \| U x \| = \| x \|$ .

במכניקת הקוונטים אופרטור אוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.

בתורת החבורות ובייחוד בפיזיקה, יש משמעות רבה לחקר הסימטריות במרחב. סוג מסוים של סימטריות הן סימטריות ביחס לסיבובים במרחב וכן סימטריות ביחס לשיקופים. סיבובים ושיקופים מיוצגים על ידי מטריצות אוניטריות. אפשר להראות שמרחב כל המטריצות היוניטריות בעלות דטרמיננטה 1 מממד n מהווה חבורה ביחס לפעולת כפל מטריצות. חבורה זו נקראת $\ SU(n)$ או "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות מסדר n". לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי. הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את החלקיקים האלמנטריים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה $\ SU(3)$ .