איבר האפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

איבר האפס הוא מונח אלגברי לציון איבר במבנה אלגברי שהוא איבר היחידה ביחס לפעולת החיבור המוגדרת במבנה. כלומר איבר המסומן 0 ומקיים a+0 = 0+a = a לכל איבר a במבנה.

דוגמאות:

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחוג כללי יש תמיד איבר אפס אחד בדיוק (מה שמצדיק את השם "איבר האפס"). הוכחה: נניח ש-0_r ו-0_s הם שני איברי אפס בחוג. אז לפי הגדרת איבר אפס: 0_r=0_s+0_r=0_s.

תוכנה נוספת של איבר האפס בחוג היא תכונת הבליעה ביחס לכפל: לכל a בחוג a\cdot 0 = 0\cdot a = 0. הוכחה: a\cdot 0 = a\cdot (0+0) = a\cdot 0 + a\cdot 0. אם נצמצם את שני האגפים ב-a\cdot 0 נקבל: 0=a\cdot 0. ההוכחה לכפל משמאל אנלוגית.

חוג עם איבר אחד הוא החוג הטריוויאלי שהאיבר היחיד בו הוא איבר האפס המהווה גם איבר היחידה ביחס לכפל. לעומת זאת בחוג עם שני איברים לפחות מתקיים תמיד ש-0\ne 1 (כש-1 הוא איבר היחידה הכפלי). הוכחה: יהי a איבר בחוג שאינו איבר האפס (קיים מכיוון שקיים רק איבר אפס אחד). אז a\cdot 1 = a\ne 0 = a\cdot 0 ולכן 0\ne 1.

מן הטענה האחרונה ומתכונת הבליעה ניתן להסיק שבחוג עם שני איברים לפחות איבר האפס תמיד אינו איבר הפיך, כלומר לא ניתן לחלק באפס.