איבר נילפוטנטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה מופשטת, איבר $\ x$ של חוג R הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם $\ x^m=0$ עבור m גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות של x.

[עריכה] דוגמאות

בחוג $\Z/4\Z$ של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי $\ 2^2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$ .
המטריצה הריבועית $A = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים $\ A^3=0$ .
בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם $\ ab$ נילפוטנטי, אז גם $\ ba$ כזה, משום ש- $\ (ba)^{n+1} = b(ab)^na$ . לדוגמה, אם $\ a = e_{12}+e_{22}$ ו- $\ b=e_{12}$ , כאשר $\ e_{ij}$ הן יחידות מטריצות, אז $\ ab=0$ ו- $\ ba=b$ נילפוטנטי מסדר 2.

אם x נילפוטנטי, אז $\ 1-x$ איבר הפיך: $\ (1-x)^{-1} = 1+x+x^2+x^3+\dots$ ; זהו איבר מוגדר היטב משום שהסכום סופי. בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך.

[עריכה] אידאלים ניליים ונילפוטנטיים

תת-קבוצה S של חוג, שכל איבריה נילפוטנטיים, נקראת קבוצה נילית (ואם S אידאל - זהו אידאל נילי). אם קיים n כך שהמכפלה $\ s_1 \dots s_n$ מתאפסת לכל $\ s_1,\dots,s_n \in S$ אז S היא קבוצה נילפוטנטית (או אידאל נילפוטנטי). קבוצה נילפוטנטית היא נילית, אבל ההיפך אינו נכון.

אוסף האיברים הנילפוטנטיים בחוג קומוטטיבי מהווה אידאל, שהוא הרדיקל של אידאל האפס בחוג. אידאל זה שווה לחיתוך של כל האידאלים הראשוניים בחוג, והוא נקרא הרדיקל הנילי של החוג.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי A הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידאל ראשוני.

איבר נילפוטנטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] אידאלים ניליים ונילפוטנטיים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות