איבר נילפוטנטי

באלגברה מופשטת, איבר $\ x$ של חוג R הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם $\ x^m=0$ עבור m גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות של x.

דוגמאות

• בחוג $\Z/4\Z$ של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי $\ 2^2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$.
• המטריצה הריבועית $A = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים $\ A^3=0$.
• בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם $\ ab$ נילפוטנטי, אז גם $\ ba$ כזה, משום ש- $\ (ba)^{n+1} = b(ab)^na$. לדוגמה, אם $\ a = e_{12}+e_{22}$ ו- $\ b=e_{12}$, כאשר $\ e_{ij}$ הן יחידות מטריצות, אז $\ ab=0$ ו- $\ ba=b$ נילפוטנטי מסדר 2.

אם x נילפוטנטי, אז $\ 1-x$ איבר הפיך: $\ (1-x)^{-1} = 1+x+x^2+x^3+\dots$; זהו איבר מוגדר היטב משום שהסכום סופי. בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי A הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידאל ראשוני.

ראו גם

• אידאל נילי