איבר (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, איבר הוא פריט מתוך קבוצה. קבוצה מוגדרת באמצעות האיברים השייכים אליה. כל אובייקט מתמטי יכול להיות איבר בקבוצה. נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה או כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה.

היחס היחיד הקיים בין איבר לקבוצה הוא השייכות ביניהם. כאשר איבר \ x שייך לקבוצה \ A נסמן זאת בצורה x\in A ונאמר ש-\ A כוללת את \ x או ש-\ x שייך ל-\ A, אם אינו שייך נסמן זאת x\not\in A. לא קיימים יחסים נוספים בין איברים לקבוצות, ולכן אין חשיבות למספר המופעים או לסדר ההופעה.

מקובל לחלק קבוצות לפי מספר איבריהן:

מספר האיברים בקבוצה הוא העוצמה שלה.

בתורת הקבוצות האקסיומטית כל האובייקטים באשר הם הם קבוצות, ולכן כל איבר הוא בעצמו קבוצה.

דוגמאות:[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כלב הוא איבר בקבוצה {כלב, חתול, צרצר} ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} \in כלב. פיל איננו איבר בקבוצה זו ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} \notin פיל. זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
  • {x : x אזרח סין}: כל אזרח של סין הוא איבר בקבוצה זו. בפרט,{x אזרח סין: x} \in חו ג'ינטאו. זוהי קבוצה סופית אף-על-פי שמספר איבריה גדול מאוד ואינו ידוע לנו בעת ההגדרה.
  • 3 הוא איבר בקבוצת כל המספרים החיוביים השלמים שהיא קבוצה אינסופית. נסמן את השיוך כך: {כל המספרים החיוביים השלמים} \in 3.