אידאל ראשוני
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, אידאל ראשוני הוא סוג של אידאל החולק רבות מהתכונות של מספרים ראשוניים בחוג המספרים השלמים. התכונה הבסיסית אשר הוא מכליל היא: במידה ומכפלת שני מספרים שלמים מתחלקת במספר ראשוני, אחד מהם יתחלק בו גם כן.
ההקשר השכיח ביותר לאידאלים ראשוניים הוא במקרה של חוגים חילופיים, ולכן נבדיל בין ההגדרות בהתאם למקרה החילופי והלא חילופי.
[עריכה] אידאלים ראשוניים בחוגים חילופיים
הגדרת אידאל ראשוני: יהי R חוג חילופי. אידאל P ב-R נקרא ראשוני אם שתי התכונות הבאות מתקיימות:
- לכל זוג איברים a,b∈R כך ש ab∈P, מתקיים a∈P או b∈P (במילים: אם מכפלת שני איברים בחוג שייכת ל-P, אז בהכרח אחד מהם גם יהיה שייך ל-P).
- P אינו שווה ל-R כולו.
דוגמאות:
- מספר טבעי
הוא ראשוני אם ורק אם האידאל 
הוא אידאל ראשוני ב-
. באופן כללי יותר, אידאל ראשי בחוג הינו ראשוני, אם ורק אם איבר היוצר אותו הינו איבר ראשוני. - אידאל
ב-![\,k[x_1,\dots,x_n]](http://upload.wikimedia.org/math/6/8/9/689bd7be2edfbcb35abdf1072bfbc3d8.png)
(כאשר 
שדה סגור אלגברית) מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב- מאפסים). קבוצה זו תהיה אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני. אודות כך ראו בערך יריעה אלגברית.
תכונות:
- אידאל P הוא ראשוני אם ורק אם R/P (חוג המנה) הינו תחום שלמות. זה נובע כמעט טאוטולוגית מההגדרות.
- אידאל מקסימלי הינו ראשוני (קל להוכיח באופן ישיר, או לסירוגין לשים לב שחוג המנה עבור אידאל מקסימלי הוא שדה, ובפרט תחום שלמות).
- מכיוון שבכל חוג חילופי שונה מאפס קיימים אידאלים מקסימליים (ראו בערך אידאל מקסימלי), בכל חוג חילופי קיימים אידאלים ראשוניים.
- חוג חילופי הינו תחום שלמות אם ורק אם אידאל האפס הינו ראשוני.
- התמונה ההפוכה של אידאל ראשוני תחת הומומורפיזם חוגים הינה אידאל ראשוני. תכונה זו מאפשרת להגדיר ספקטרום של חוג באופן פונקטוריאלי, בניגוד לספקטרום המקסימלי של חוג.
- אידאל הינו ראשוני אם ורק אם קבוצת האיברים אשר אינם שייכים לאידאל הינה לא ריקה וסגורה ביחס לכפל. לכן ניתן לבצע לוקליזציה של החוג ביחס לקבוצה זו, אשר נקראת בדרך כלל הלוקליזציה באידאל הראשוני הנתון.
שימושים:
אידאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית. ידוע היה שחוק קיום ויחידות פירוק למספרים ראשוניים (המשפט היסודי של האריתמטיקה) הקיים בחוג המספרים (הרציונליים) השלמים, אינו קיים בהכרח בחוגי המספרים השלמים של שדות מספרים אלגבריים. דדקינד מצא שלמרות זאת, ניתן להוכיח בחוגים אלה קיום ויחידות פירוק של מספרים (או גם אידאלים) לאידאלים ראשוניים.
מכיוון שונה, אידאלים ראשוניים בחוגי פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k מתאימים חד חד ערכית ליריעות אפיניות אי-פריקות (ראו בדוגמאות שלעיל). ליריעות אלו אפשר להתייחס כ"נקודות רב-ממדיות" של kn (אשר אינן בהכרח ממימד אפס). אידאלים מקסימליים מתאימים על פי משפט האפסים של הילברט לנקודות הרגילות, ממימד אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו מגדירים טופולוגיה מתאימה, ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת סכמות: מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.
[עריכה] אידאלים ראשוניים בחוגים לא חילופיים
אם R הוא חוג שאינו חילופי, אידאל P ב-R נקרא ראשוני אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:
- לכל זוג אברים a,b∈R, אם לכל r∈R מתקיים arb∈P, אז a∈P או b∈P.
- P אינו שווה ל-R כולו.
