אידאל ראשוני

במתמטיקה, אידאל ראשוני הוא אידאל שאינו יכול להכיל מכפלה של שני אידאלים בלי להכיל אחד מהם. הגדרה זו מכלילה את התכונה הבסיסית של מספרים ראשוניים בחוג המספרים השלמים: מספר ראשוני אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה. לאידאלים הראשוניים, ולחוגים הראשוניים לצידם, תפקיד חשוב בתורת המבנה של החוגים בשל הזמינות של טיעונים אינדוקטיביים הכרוכים בהם. בפרט, בחוגים קומוטטיביים, אפשר לתרגם טענות גאומטריות לטענות על אידאלים ראשוניים, ולהיפך. בהקשר זה יש חשיבות רבה לאורך המקסימלי של שרשרת של אידאלים ראשוניים, הקרוי מימד קרול.

הגדרה

אידאל (אמיתי, היינו שאינו שווה לכל החוג) P נקרא ראשוני אם לכל שני אידאלים A ו-B, מההכלה $\ AB \subseteq P$ נובע $\ A\subseteq P$ או $\ B \subseteq P$. עבור אידאל בחוג קומוטטיבי, אפשר להגדיר גם לפי איברים: P ראשוני אם מ-$\ ab \in P$ נובע ש$\ a\in P$ או $\ b \in P$.

דוגמאות

בחוג קומוטטיבי R, אידאל האפס הוא ראשוני אם ורק אם החוג הוא תחום שלמות, ובאופן כללי יותר, האידאל P ראשוני אם ורק אם חוג המנה R/P הוא תחום שלמות. אידאל ראשי $\ Rp$ בתחום שלמות הוא ראשוני אם ורק אם האיבר p ראשוני. בפרט, האידאל $\ \mathbb{Z}n$ ראשוני בחוג המספרים השלמים אם ורק אם n מספר ראשוני.

כל אידאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההיפך אינו נכון, משום שקיימים תחומי שלמות שאינם שדות (וחוגים ראשוניים שאינם פשוטים).

הספקטרום הראשוני

אוסף האידיאלים הראשוניים של חוג, עם טופולוגיה מתאימה, נקרא הספקטרום של החוג. האורך המקסימלי (נאמר, n) של שרשרת אידיאלים ראשוניים $\,P_0 \sub \cdots \sub P_n=P$ נקרא הגובה של P. הגובה המקסימלי האפשרי בחוג הוא ממד קרול הקלאסי שלו (העשוי להיות אינסופי אפילו אם כל הראשוניים בעלי גובה סופי).

בחוג הפולינומים $\,k[x_1,\dots,x_n]$ (כאשר $\,k$ שדה סגור אלגברית), כל אידאל $\,I$ מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-$\,I$ מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; ראו בערך יריעה אלגברית. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות ממימד גבוה במרחב האפיני kⁿ, בהכללה להתאמה של אידאלים מקסימליים (לפי משפט האפסים של הילברט) לנקודות, שמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים טופולוגיה מתאימה, ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת סכמות, שהן מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.

מיקום

בחוג קומוטטיבי R, אידאל P הוא ראשוני אם ורק אם המשלים שלו סגור לכפל, ולכן הוא מונויד. כך אפשר לבצע מיקום של החוג ביחס לאותו אידאל; החוג המתקבל $\ R_P$הוא חוג מקומי, שהאידאלים שלו מתאימים לאידאלים המוכלים ב-P; בפרט, האידאל המתאים ל-P הוא האידאל המקסימלי היחיד.

חוגי דדקינד

אידאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית, בנסיון להכליל את המשפט היסודי של האריתמטיקה על פירוק יחיד של מספר שלם לגורמים ראשוניים, לחוגי מספרים כללים יותר. פירוק כזה היה נחוץ לצורך הוכחת המשפט האחרון של פרמה. ריכרד דדקינד מצא שבחוגים מסוימים (הקרויים על-שמו חוגי דדקינד) יש פירוק יחיד של כל אידאל כמכפלה של אידאלים ראשוניים.

אידאלים ראשוניים בהרחבות

בהרחבה $\ C \subset R$ של חוגים קומוטטיביים, האידאל הראשוני Q של R נמצא "מעל" אידאל ראשוני P של C, אם $\ Q \cap C = P$. ההרחבה מקיימת את התכונות:

• LO (או Lying Over) אם מעל כל אידאל ראשוני של C יש אידאל ראשוני של R;
• INC (או Incomparability) אם שני אידאלים של R, שאחד מהם מכיל את רעהו, אינם יכולים להמצא מעל אותו אידאל של C;
• GU (או Going Up) אם כאשר Q מעל P ו- $\ P' \subset P$, יש גם אידאל ראשוני מעל 'P;
• GD (או Going Down) אם כאשר Q מעל P ו- $\ P\subset P'$, יש גם אידאל ראשוני מעל 'P.

יש סוגים רבים של הרחבות שבהן מתקיימות תכונות אלה, או מקצתן. שתי התכונות הראשונות, בצירוף אחת משתי האחרונות, מספיקות כדי לקבוע שלשני החוגים יש אותו מימד קרול.