אידאל נילי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אידיאל נילי)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, אידאל נילי הוא אידאל שכל איבריו נילפוטנטיים. מכיוון שסכום של אידאלים ניליים גם הוא נילי, סכום כל האידאלים הניליים בחוג הוא אידאל נילי, המכונה הרדיקל הנילי העליון.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

איבר a של חוג הוא נילפוטנטי אם קיים n כך ש- \ a^n=0.

תת-קבוצה S של חוג, שכל איבריה נילפוטנטיים, נקראת קבוצה נילית. אם קיים n כך שהמכפלה \ s_1 \dots s_n מתאפסת לכל \ s_1,\dots,s_n \in S אז S היא קבוצה נילפוטנטית. קל לראות שהאידאל השמאלי \ Ra הוא נילי אם ורק אם האידאל הימני \ aR הוא כזה.

אידאל הוא נילפוטנטי מקומית, אם תת-החוג הנוצר על ידי מספר יוצרים סופי מאברי האידאל הוא תמיד נילפוטנטי (אם כי דרגת הנילפוטנטיות עשויה להיות תלויה בבחירת היוצרים). כל אידאל נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית, וכל אידאל נילפוטנטי מקומית הוא נילי; הטענות ההפוכות אינן נכונות בדרך כלל. עם זאת, בחוגים נותריים, כל אידאל שמאלי נילי הוא אידאל נילפוטנטי[1]. חוג ראשוני שאין בו אידאלים ניליים נקרא strongly prime.

חוגים ניליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרות עבור אידאלים חלות גם על חוגים בלי יחידה: חוג נילי הוא חוג שבו כל האיברים ניליים (ולכן אין בו אידמפוטנטים). חוג שכל המנות הראשוניות שלו הן ניליות הוא בעצמו נילי.

סכום של אידאלים ניליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

איברים נילפוטנטיים נראים ממבט ראשון "קרובים לאפס", אבל זווית ראיה זו אינה מועילה, משום שהסכום או המכפלה של איברים נילפוטנטיים אינם בהכרח כאלה [2]. לעומת זאת, ההנחה שאיבר שייך לאידאל נילי היא חזקה ביותר. כל האיברים מסוג זה מרכיבים יחדיו את האידאל הנילי הגדול ביותר, שהוא רדיקל הנקרא הרדיקל הנילי העליון של החוג. אידאל זה שווה לחיתוך של כל האידאלים הראשוניים. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי כולל את כל האיברים הנילפוטנטיים, ושווה לרדיקל של אידאל האפס בחוג.

בדומה לזה, רדיקל לויצקי הוא האידאל השמאלי הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר, והוא אידאל דו-צדדי. קיומם של רדיקלים אלה מוכיח שסכום (כלשהו) של אידאלים ניליים הוא תמיד נילי, והסכום של אידאלים נילפוטנטיים-מקומית הוא תמיד נילפוטנטי-מקומית. אפילו הסכום של אידאלים שמאליים נילפוטנטיים-מקומית הוא נילפוטנטי-מקומית, והסכום של תת-חוג נילפוטנטי מקומית עם תת-חוג נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית[3]. לעומת זאת, לא ידוע האם סכום של אידאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי (ראו להלן).

כאשר מדובר באידאלים נילפוטנטיים התמונה שונה: הסכום של מספר סופי של אידאלים (שמאליים) נילפוטנטיים, הוא נילפוטנטי, אבל סכום של מספר כלשהו של אידאלים נילפוטנטיים אינו בהכרח כזה. סכום כל האידאלים הנילפוטנטיים בחוג הוא נילי, אבל בדרך כלל אינו נילפוטנטי.

בעיות פתוחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

השערת קתה, שהיא אחת ההשערות הפתוחות המרכזיות בתורת החוגים, שואלת האם סכום של אידאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי[4]. לא ידוע האם חוג נילי אפיני הוא בהכרח נילפוטנטי, והאם חוג נילי מוצג סופית הוא בהכרח מממד סופי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23.
  2. ^ לדוגמה, הסכום או המכפלה של יחידות המטריצות \ e_{12}, e_{21} אינם נילפוטנטיים.
  3. ^ Ferrero and Puczylowski, On rings which are sums of two subrings, Arch. Math. 53, 4--10, (1989).
  4. ^ בין הגרסאות השקולות: האם סכום של תת-חוג נילפוטנטי ותת-חוג נילי, הוא נילי. ידוע שיש סכומים של שני תת-חוגים נילפוטנטיים מקומית שאינם ניליים.