סאביץ' הוא יליד העיר סגד, הונגריה. קבוצתו הראשונה הייתה המועדון ההונגרי מהבירה פרנצווארוש ואחרי עונה אחת בלבד עבר לשחק באוסטריה בקבוצת שטורם גראץ. לאחר ארבע עונות באוסטריה עבר סאביץ' לגרמניה לשורותיה של שטוטגרט בה הוא שיחק בחוד לצידו של החלוץ הגרמני קווין קוראני. בהמשך שיחק גם בקבוצות פ.צ. קלן, מיינץ 05 ואאוגסבורג. במאי 2010 חזר סאביץ' לשטורם גראץ.
סאביץ' היה גם חלוצה הפותח של נבחרת הונגריה. בספטמבר 2013 הודיע על פרישה מהכדורגל.