אינדוקציה נתרית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.

הגדרה והסבר[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי $R$ אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה $R/A$ עבור כל אידיאל $0\neq A\triangleleft R$ , ואז להמשיך באינדוקציה.

הסבר - יהי $L$ אוסף כל האידיאלים $A$ של $R$ כך ש- $R/A$ דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם. $R$ נתרי, ולכן ל- $L$ יש מקסימום, נאמר $I_{1}$ . בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה $R/I$ שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה $0\neq I_{2}/I_{1}\triangleleft R/I_{1}$ המנה מקיימת את הטענה, משום ש- $(R/I_{1})/(I_{2}/I_{1})\cong R/I_{2}$ , ו- $I_{1}\subsetneq I_{2}$ .

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

טענה: אם $R$ נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים $P_{1},...,P_{t}\in spec(R)$ כך ש- $P_{1}\cdot ...P_{t}=0$ .

הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי $R$ דוגמה נגדית, אבל $R/I$ איננו דוגמה נגדית לכל $0\neq I\triangleleft R$ . כעת, $R$ דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח $P_{1}=0$ ). לכן, יש אידיאלים $A,B\neq 0$ עבורם $AB=0$ . לפי ההנחה, $R/A,R/B$ מקיימות את הטענה, ולכן קיימים ${\overline {P_{1}}},...,{\overline {P_{u}}}\in spec(R/A),{\overline {P_{u+1}}},...,{\overline {P_{n}}}\in spec(R/B)$ כך ש- ${\overline {P_{1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{u}}}={\overline {P_{u+1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{n}}}=0$ . נקבל $P_{1}\cdot ...\cdot P_{u}\subseteq A,P_{u+1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq B$ , ולכן $P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq AB=0$ כלומר $P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}=0$ , וסיימנו באינדוקציה נתרית.

יחס בנוי-היטב[עריכת קוד מקור | עריכה]

כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס $R$ על קבוצה $X$ שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה $S$ קיים $a\in S$ כך שלכל $x\in S$ מתקיים $\lnot x{\mathcal {R}}y$ . היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם $R^{-1}$ (היחס ההופכי) בנוי-היטב.