אינוולוציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הפעלת אינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי

במתמטיקה, אינוולוציה היא פונקציה שהופכית לעצמה. כלומר מתקיים: f(f(x))=x לכל x.

באופן כללי יותר, השם "אינוולוציה" משמש לתאור כל איבר מסדר 2 במבנה אלגברי עם איבר יחידה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונריות חד-חד-ערכיות ועל, כלומר תמורות. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות שמוגדרות על קבוצה סופית של n איברים נקרא מספר טלפון ה-n-י (סדרה A000085 ב-OEIS). מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

a_0=a_1=1
a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא \{1,\ldots,n\}. יש a_{n-1} אינוולוציות שבהן n נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על \{1,\ldots,n-1\}). יש a_{n-2} אינוולוציות שבהן n עובר ל-k\ne n (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על \{1,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n-1\}). יש n-1 ערכים אפשריים ל-k\ne n. ▯

מספרי טלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]