אינטגרל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק באינטגרלים של פונקציות ממשיות במשתנה אחד. אם התכוונתם לאינטגרלים של מספר משתנים, ראו אנליזה וקטורית.

האינטגרל הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה הכללה מתמטית מרחיקת לכת של מושג הסכום. לפי אחת מהגדרותיו, האינטגרל הוא הגבול של סכום של אלמנטים קטנים שגודלם שואף לאפס (ומספרם שואף לאינסוף), כאשר אלה מוגדרים על ידי פונקציה.

שימושים נפוצים לסכימה מסוג זה הם מסת גוף (כאשר יש התפלגות רציפה של צפיפות, ואין אלמנט מסה בדיד הקטן ביותר), נפח, שטח, אורך מסלול עקום ועוד.

ישנן מספר הגדרות שונות של אינטגרלים, שמשמשות למטרות שונות. פעולת חישוב האינטגרל נקראת "אינטגרציה". על הישר הממשי פעולת האינטגרציה דומה חישובית לפעולה ההפוכה לנגזרת, לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

האינטגרל מסומן ב-∫ או $\ \int$ , סימון שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו מה-s הארוכה בתחילת המילה המילה הלטינית summa (סכום), שאותה הוא כתב כ-ſumma.

תוכן עניינים

1 האינטגרל המסוים על פי רימן
2 האינטגרל הלא מסוים
3 אינטגרל לבג
4 אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל לבג-סטילטיס
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] האינטגרל המסוים על פי רימן

עבור פונקציה חיובית (f(x, האינטגרל הוא השטח S הכלוא מתחת לגרף הפונקציה

בצורה פשטנית, האינטגרל על פי רימן הוא חישוב של השטח מתחת לגרף של פונקציה חיובית. מיד מתעוררות שאלות - למשל, מה קורה כשהפונקציה שלילית. על כן חשוב להדגיש כי משתמשים בדוגמת השטח כדי לסייע להבנה של הרעיון שעומד מאחוריו, לא להגדרתו המדויקת.

מהבחינה האינטואיטיבית הזו, אינטגרל רימן הוא דרך לחישוב השטח מתחת לגרף של פונקציה על ידי חלוקתו למלבנים קטנים יותר ויותר, שמהווים קירוב ההולך ומשתפר.

בצורה כללית יותר, ניתן לראות את אינטגרל רימן כהכללה של מושג הסכום, כאשר הסכום נלקח על קבוצה גדולה מאוד של איברים. סכום של מספר בן מנייה של אברים, ואפילו אינסופי, ניתן לביטוי באמצעות טור, אך כאשר מספר האיברים בסכום אינו בן מנייה לא ניתן יותר לסכום אותם בצורה פשוטה. אינטגרל של פונקציה, אם כן, הוא הכללה של מושג הסכום על כל הערכים שמקבלת הפונקציה בקטע מסוים, כאשר הרעיון הוא לקרב את הסכום של המספר הלא בן מנייה של איברים באמצעות סכומים שהם כן בני מנייה.

יש שתי גישות להגדרת אינטגרל רימן - בעזרת סכומי דארבו ובעזרת סכומי רימן.

[עריכה] הגדרה על פי סכומי דארבו

תהא פונקציה $f\left(x\right)$ חסומה כלשהי בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ . שתי התכונות הללו - פונקציה חסומה, קטע סגור, חיוניות להגדרה. אינטגרלים שבהם התכונות הללו אינן מתקיימות נקראים אינטגרלים מוכללים או אינטגרלים לא אמיתיים.

[עריכה] חלוקות

סדרה סופית של מספרים $\ a=x_0<x_1<\ldots <x_{n-1}<x_n=b$ תיקרא חלוקה של הקטע $\left[a,b\right]$ .

[עריכה] סכום עליון וסכום תחתון

חישוב הסכום העליון של פונקציה

חישוב הסכום התחתון של פונקציה

כעת, עבור חלוקה מסוימת, אנו רוצים להעריך את השטח שמתחת לגרף הפונקציה באמצעות מלבנים, זאת משום שחישוב שטח של מלבן הוא פשוט - מכפלה של גובהו ברוחבו. רוחב מלבן שנבנה על קטע חלוקה הוא כרוחב קטע החלוקה. באשר לגובה, נבחר שני מלבנים: הראשון יהיה גבוה כמו הנקודה הגבוהה ביותר של הפונקציה בקטע החלוקה, והשני יהיה גבוה כמו הנקודה הנמוכה ביותר של הפונקציה בקטע החלוקה. כתוצאה מכך, המלבן הראשון יכיל את כל השטח שמתחת לפונקציה "ועוד קצת", ואילו המלבן השני יכיל רק שטח שמתחת לפונקציה אבל "יפספס קצת". משנחבר את כל המלבנים הגבוהים נקבל הערכה לגודל השטח שהיא מעט "גדולה מדי" ונכנה אותה סכום עליון (של אותה חלוקה), וכאשר נחבר את כל המלבנים הנמוכים נקבל הערכה לגודל השטח שהיא מעט "קטנה מדי" שתכונה סכום תחתון.

נכתוב זאת בצורה פורמלית:

תהא $P=\left(x_0,x_1,\ldots,x_n\right)$ חלוקה כלשהי. עבור קטע החלוקה ה-i, $\left[x_{i-1},x_i\right]$ נסמן את החסם העליון של הפונקציה בקטע (יש כזה כי הפונקציה חסומה וקטע החלוקה סגור) בתור $\!\,M_i$ ואילו את החסם התחתון של הפונקציה בקטע נסמן בתור $\!\,m_i$ . את אורך קטע החלוקה נסמן $\!\, \Delta x_i=x_i-x_{i-1}$

כעת, הסכום העליון של החלוקה P יוגדר בתור:

$U(P)=\sum^n_{i=1}M_i\Delta x_i$

ואילו הסכום התחתון של החלוקה P יוגדר בתור:

$L(P)=\sum^n_{i=1}m_i\Delta x_i$

[עריכה] אינטגרל עליון ואינטגרל תחתון

כעת נביט בקבוצת כל הסכומים העליונים, המתקבלים עבור כל חלוקה אפשרית P. זו קבוצה חסומה ולכן יש לה חסם תחתון. לחסם תחתון זה נקרא האינטגרל העליון של הפונקציה. כמו כן לקבוצת כל הסכומים התחתונים המתקבלים עבור כל חלוקה אפשרית P יש חסם עליון. לחסם עליון זה נקרא האינטגרל התחתון של הפונקציה.

נאמר על הפונקציה שהיא אינטגרבילית בקטע אם ורק אם האינטגרל העליון שווה לאינטגרל התחתון. במקרה זה, האינטגרל של הפונקציה באותו קטע שווה להם. אחרת, האינטגרל אינו מוגדר.

[עריכה] הגדרה על פי סכומי רימן

לכאורה, זו ההגדרה האינטואיטיבית יותר - המתבססת על חלוקת השטח למלבנים צרים ולקיחת גבול.

[עריכה] סכום רימן

עבור חלוקה של הקטע $\ [a,b]$ ל- $\ n$ תת-קטעים בעלי פרמטר חלוקה $\ \lambda_n = \max_{0 \le i \le n}{ | x_{i}-x_{i-1} | }$ (זהו האורך המקסימלי של תת-קטע בחלוקה), בוחרים מכל תת-קטע נקודה כלשהי $\ \xi_i$ . מגדירים סכום רימן:

$\sigma_n(f) = \sum_{i=1}^{n}{ f(\xi_i) \cdot |x_i - x_{i-1}|}$

יש לשים לב שקבוצת נקודות הביניים $\ \xi_i$ משתנה מחלוקה לחלוקה ויכולה להיבחר באופן שרירותי (בהתאם למגבלות). כמו כן, עבור $\ n$ -ים שונים בהגדרת סכום רימן נקבל קבוצות נקודות ביניים שונות.

[עריכה] אינטגרביליות לפי סכומי רימן

פונקציה נקראת אינטגרבילית (לפי רימן) אם היא חסומה בקטע וסכום רימן שלה מתכנס (למספר סופי) כאשר $\lim_{n \to \infty}{\lambda_n}=0$ . יש להראות שסכום רימן מתכנס עבור כל חלוקה, לאו דווקא חלוקה לקטעים שווים, ועבור כל בחירה של נקודות הביניים. אם הגבול קיים, מגדירים:

$\int_a^b{f(x)\,dx} = \lim_{n \to \infty}{\sigma_n(f)}$

[עריכה] הערות

למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא $\ f(\xi_i)$ , סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס. באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).

אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרתה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה.

[עריכה] תכונות האינטגרל המסוים

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי: נוסחה המספקת שיטה לחישוב אינטגרל מסוים של פונקציות אינטגרביליות שקיימת להן פונקציה קדומה.

אדיטיביות האינטגרל המסוים: לכל $\ a,b,c\isin \mathbb{R}$ אם הפונקציה $\ f$ אינטגרבילית בקטעים שקצותיהם $\ a,b$ ו- $\ c$ , אז מתקיים -

$\int_a^b{f(x)dx} = \int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx}$

לינאריות האינטגרל המסוים: יהיו $\ c_1,c_2 \isin \mathbb{R}$ סקלרים ו $\ f,g$ פונקציות. מתקיים -

$\int_a^b{[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]dx} = c_1\int_a^b{f(x)dx} + c_2\int_a^b{g(x)dx}$

מונוטוניות האינטגרל המסוים: יהיו $\ f,g$ פונקציות אינטגרביליות בקטע $\ [a,b]$ . אם לכל $\ x\isin [a,b]$ , $\ f(x)>g(x)$ אז -

$\int_a^b{f(x)dx} > \int_a^b{g(x)dx}$

[עריכה] אפיון פונקציות אינטגרביליות לפי רימן

ניתן לאפיין את הפונקציות האינטגרביליות לפי רימן באופן הבא:

פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.

מכאן נובע כי:

כל פונקציה רציפה בקטע סגור היא אינטגרבילית לפי רימן
כל פונקציה מונוטונית וחסומה היא אינטגרבילית לפי רימן
כל פונקציה בעלת מספר סופי של נקודות אי-רציפות היא אינטגרבילית לפי רימן
פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן
פונקציית רימן היא אינטגרבילית לפי רימן (והאינטגרל הוא אפס)

משפט זה ידוע בשם משפט לבג.

[עריכה] האינטגרל הלא מסוים

[עריכה] הגדרה

פונקציה $F\left(x\right)$ נקראת פונקציה קדומה של $f\left(x\right)$ בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע $F'\left(x\right)=f(x)$ . כלומר $f\left(x\right)$ היא הנגזרת של $F\left(x\right)$ בקטע.

האינטגרל הלא מסוים של פונקציה $\ f(x)$ האינטגרבילית בקטע הסגור $\ [a,b]$ מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו. בסימון: $\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ , כאשר $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ ו- $\ C\isin\mathbb{R}$ הוא קבוע שרירותי.

ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי. מצד אחד, אם $\ F'(x)=f(x)$ אז ברור כי גם $\ \left(F(x)+C\right)'=f(x)$ כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם $\ F(x),G(x)$ פונקציות קדומות של $\ f(x)$ אז מתקיים $\ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0$ , כלומר הפונקציה $\ F(x)-G(x)$ קבועה, כלומר $\ F(x)-G(x)=C$ , כנדרש.

בהינתן פונקציה $\ f(x)$ אינטגרבילית בקטע הסגור $\ [a,b]$ ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:

$\ \forall x \in [a,b] : \ \ \ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)\,dt}$

ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של $\ f(x)$ בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי. פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של $\ f(x)$ . עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש $\ F(x)$ גזירה בכל מקום בו $\ f(x)$ רציפה. כלומר: אם $\ f(x)$ רציפה ב $x 0$ אזי מתקיים ש $\ F'(x_0) = f(x_0)$ . כלומר, $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ באופן כללי, $\ F(x)$ לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.

על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים $\ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)\,dt}$ ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית $\ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.

[עריכה] דוגמה

ידוע כי הנגזרת של $\!\, x^2$ היא $\!\, 2x$ . על כן כל פונקציה קדומה של $\!\, 2x$ נבדלת מ $\!\, x^2$ בקבוע, ונכתוב: $\int 2x\,dx=x^2+c$

[עריכה] מציאת האינטגרל הלא מסוים

בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.

גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה $\ y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x}{f(t)\,dt}$ נחשבים לפתרון קביל.

[עריכה] אינטגרל לבג

ערך מורחב – אינטגרל לבג

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.

בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן. הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה. לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן. למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן). אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.

[עריכה] אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל לבג-סטילטיס

אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.

אינטגרל רימן-סטילטיס של פונקציה ממשית $\,f$ של משתנה ממשי ביחס לפונקציה ממשית $\,g$ מסומן:

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$

ומוגדר להיות הגבול של הביטוי:

$\sum_{x_i\in P} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

כאשר $\,c_i$ נמצא נמצא ברווח ה- $\,i$ בחלוקת הקטע $\,[a,b]$ לקטעים וכאשר אורך הקטע המקסימלי בחלוקה שואף ל-0.

האינטגרל אינו מוגדר כאשר לשתי הפונקציות $\,f$ ו- $\,g$ יש נקודת אי-רציפות משותפת. יש הכללה שתגדיר את האינטגרל כאשר בנקודת אי הרציפות המשותפת אחת הפונקציות רציפה מימין והשנייה משמאל.

הכללה נוספת היא אינטגרל לבג-סטילטיס, שהוא הכללה הן של אינטגרל רימן והן של אינטגרל לבג. שתי ההגדרות, של אינטגרל רימן-סטילטיס ושל אינטגרל לבג-סטילטיס הן הגדרות זהות כאשר הפונקציה $\,g$ היא פונקציה מונוטונית עולה, וזהו המקרה בו אינטגרל זה משמש בסטטיסטיקה ובמשתנים מקריים כאשר הפונקציה $\,g$ היא פונקציה ההסתברות (המצטברת).

[עריכה] ראו גם

שיטות אינטגרציה

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: טבלת אינטגרלים

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C

קטגוריה: אנליזה מתמטית