אינטגרל גאוסיאני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אינטגרל גאוסיאני הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:

\ \int \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{ (x - \mu)^2 }{2 \sigma^2}} dx

והכללותיו.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, אוסצילטור הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא אמיתי). האינטגרל קרוי על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס.

גאוסיאן במשתנה אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:

\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2 - 4ac}{4a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp{\left(\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)}, \quad a > 0

הוכחת הנוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

  1. מחשבים את \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx
  2. מחשבים את \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,dx באמצעות החלפת משתנים.
  3. מחשבים את \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, dx באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לחשב I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx, נכפול את \ I באותו אינטגרל:  I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}\,dy .

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש \ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\,dxdy. נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור \ x-y. נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות \ r, \phi כאשר \ r^2 = x^2 + y^2 ו-\ \phi היא הזווית בין \ r לציר ה-\ x.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה \ dxdy = r dr d \phi, ומקבלים ש-\ I^2 =  \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d \phi.

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים ש-\ I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr \int_{0}^{2 \pi}\, d\phi =
2 \pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr =  \pi \int_{0}^{\infty}e^{-r^2} 2r dr . כעת נשים לב ש-\ (r^2)' = 2r, ולכן \ \frac{d}{dr} e^{-r^2} = -e^{-r^2} 2r , ולכן \ I^2 = \pi \left[ -e^{-r^2} \right]_{0}^{\infty} = \pi ( 0 - (-1)) = \pi.

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים \ I = \sqrt{\pi} או לסיכום:

I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

שלב 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: \ y^2 = a x^2 \ , \ y = \sqrt{a} x \ , \ dx = \frac{dy}{\sqrt{a}} ואז \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, dy = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

שלב 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההשלמה לריבוע:

\ -a x^2 - b x - c = -a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a} - c

האינטגרציה על הריבוע נותנת \ \sqrt{\pi / a} ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש לציין שאינטגרל זה הוא פונקציה זוגית ולכן

\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\, dx

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של \ x,

\begin{align}
&\int_0^\infty x^{2n}  e^{-x^2/a^2}\,dx
  &&= \sqrt{\pi} \frac{(2n)!}{n!} \left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1} \\
&\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-x^2/a^2}\,dx
  &&= \frac{n!}{2} a^{2n+2}
\end{align}

אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל של n משתנים בתבנית בילינארית:


\int \exp\left( - \frac 1 2 A_{ij} x^i x^j \right) d^nx
=
\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}

כאשר A היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר המקדם של x^2 הוא \pm i = \sqrt{-1} עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:

  • \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ix^2}dx = (1-i) \sqrt{ \frac{\pi}{2} }
  • \int_{-\infty}^{\infty} e^{+ix^2}dx = (1+i) \sqrt{ \frac{\pi}{2} }

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]