אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים מתבססת על הרעיון שאם נפעיל פונקציה על התחום, ההשפעה שלה על נפח כל תיבה בחלוקה קרובה להשפעת הקירוב הלינארי לפונקציה. קירוב זה הוא הנגזרת של הפונקציה, ולכן נכפול את האינטגרל המתקבל לאחר הפעלת הפונקציה בערך המוחלט של היעקוביאן, שמייצג את השינוי בנפח תיבה לאחר הטרנספורמציה

הנוסחא:[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה {S}\subseteq {R^n} קבוצה פתוחה, ו- {g}:{S}\to {R^n} פונקציה חח"ע ודיפרנציאבילית ברציפות על S כך שהיעקוביאן {J_g}({t})\ne0 לכל {t}\in{S} אזי לכל קבוצה קומפקטית בעלת נפח {A}\subseteq {g}(S) ופונקציה רציפה f:A \to R מתקיים: \int_A f(x)\ dx = \int_{g^-1(A)}f(g(t))|J(t)|\ dt

במקרה החד ממדי:[עריכת קוד מקור | עריכה]

\int_a^b f(x) dx = \int_{g^-1(a)}^{g^-1(b)} f(g(t))\cdot g'(t) dt

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]