אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים

אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים מתבססת על הרעיון שאם נפעיל פונקציה על התחום, ההשפעה שלה על נפח כל תיבה בחלוקה קרובה להשפעת הקירוב הלינארי לפונקציה. קירוב זה הוא הנגזרת של הפונקציה, ולכן נכפול את האינטגרל המתקבל לאחר הפעלת הפונקציה בערך המוחלט של היעקוביאן, שמייצג את השינוי בנפח תיבה לאחר הטרנספורמציה

הנוסחא:

תהיינה ${S}\subseteq {R^n}$ קבוצה פתוחה, ו- ${g}:{S}\to {R^n}$ פונקציה חח"ע ודיפרנציאבילית ברציפות על S כך שהיעקוביאן ${J_g}({t})\ne0$ לכל ${t}\in{S}$ אזי לכל קבוצה קומפקטית בעלת נפח ${A}\subseteq {g}(S)$ ופונקציה רציפה $f:A \to R$ מתקיים: $\int_A f(x)\ dx = \int_{g^-1(A)}f(g(t))|J(t)|\ dt$

במקרה החד ממדי:

$\int_a^b f(x) dx = \int_{g^-1(a)}^{g^-1(b)} f(g(t))\cdot g'(t) dt$

ראו גם

• יעקוביאן