אי-שוויון ברנולי

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

באנליזה מתמטית, אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי $\ (1+x)^n$. האי-שוויון קובע ש- $\ (1+x)^n\geq 1+nx$ לכל מספר שלם $\ n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $\ x>-1$. את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה $\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ עולה בזמן שהסדרה $\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $\ e=2.718...$, כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל $\,n$ ממשי, ובלבד ש-$\ n\geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל $\ x$, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $\ -2<x$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה באינדוקציה לאי-שוויון ברנולי

בסיס האינדוקציה: $\ n=1$ ואכן מתקיים ש: $\ (1+x)^1\ge1+1 \cdot x$ כלומר: $\ 1 + x \ge 1 + x$ .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור $\ n=t$ כלשהו, כלומר נניח ש: $\ (1+x)^t \ge 1 + tx$, נשים לב לכך שמכיוון ש-$\ x > -1$ אז: $\ (x+1)>0$ , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: $\ (1+x)\cdot(1+x)^t \ge (1+x)\cdot(1+tx)$ כלומר: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2$

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור $\ n=t+1$ כלומר צריך להוכיח ש-$\ (1+x)^{t+1} \ge 1+(t+1)\cdot x$ , כלומר: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x$ , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2$ , הביטוי $\ tx^2$ חיובי (כי $\ x^2 \ge 0$ וגם $t \ge 0$) ולכן ממילא מתקיים ש-$\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 \ge 1+tx+x$.

הכללה

לכל חזקה ממשית $r \,$ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל $r \notin (0,1)$ ולכל $\ x>-1$

$(1+x)^r \geq 1+rx$

ועבור כל $r \in [0,1]$

$(1+x)^r \leq 1+rx$

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.