אי-שוויון ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

באנליזה מתמטית, אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי \ (1+x)^n. האי-שוויון קובע ש- \ (1+x)^n\geq 1+nx לכל מספר שלם \ n\geq 0 ולכל מספר ממשי \ x>-1. את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה \ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n עולה בזמן שהסדרה \ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, \ e=2.718..., כגבולן המשותף.

תחולה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי השוויון נכון לכל \,n ממשי, ובלבד ש-\ n\geq 1 (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל \ x, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל \ -2<x (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה באינדוקציה לאי-שוויון ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס האינדוקציה: \ n=1 ואכן מתקיים ש: \ (1+x)^1\ge1+1 \cdot x כלומר: \ 1 + x \ge 1 + x .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור \ n=t כלשהו, כלומר נניח ש: \ (1+x)^t \ge 1 + tx, נשים לב לכך שמכיוון ש-\ x > -1 אז: \ (x+1)>0 , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: \ (1+x)\cdot(1+x)^t \ge (1+x)\cdot(1+tx) כלומר: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור \ n=t+1 כלומר צריך להוכיח ש-\ (1+x)^{t+1} \ge 1+(t+1)\cdot x , כלומר: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 , הביטוי \ tx^2 חיובי (כי \ x^2 \ge 0 וגם t \ge 0) ולכן ממילא מתקיים ש-\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 \ge 1+tx+x.

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חזקה ממשית r \, ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל r \notin (0,1) ולכל \ x>-1

(1+x)^r \geq 1+rx

ועבור כל r \in [0,1]

(1+x)^r \leq 1+rx

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.