אי-שוויון המשולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Triangle inequality.svg

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא התרגום האלגברי לעובדה שבמשולש, אורכה של כל צלע קטן או שווה לסכום ארכי הצלעות האחרות, שבתורה נובעת מכך שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.

בניסוח אלגברי, אי-שוויון המשולש מנוסח כאי-שוויון חלש: \ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C), כאשר \ d(\cdot,\cdot) היא הפונקציה המודדת את המרחק. אי-שוויון זה נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא \ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C).

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי-שוויון המשולש הוא \ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית \ |x+y|\leq |x|+|y|. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים \ -|x|\leq x \leq |x| ו- \ -|y|\leq y \leq |y|, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: |x-y| \geq \bigg||x|-|y|\bigg|

הוכחת אי-שוויון המשולש - פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ -|x|\leq x \leq |x| ו-
\ -|y|\leq y \leq |y| נחבר בין אי השוויונים הנ"ל. ונקבל
\ -|x|-|y|\leq x+y \leq |x|+|y| קל לראות כי הביטוי שקול ל-
\ -(|x|+|y|)\leq x+y \leq |x|+|y| ולכן:
\ |x+y| \leq |x|+|y|

המקרה המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה \ |x+y|\leq |x|+|y|, המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה \ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\| בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.


ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]