אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

המשפט

משפט: אם $f\,$ היא פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]\,$ אזי מתקיים $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$.

הערה: ניתן להוכיח כי אם $\,f$ אינטגרבילית בקטע $\,[a,b]$, אז גם $\,|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

מהגדרת הערך המוחלט, לכל $x\in [a,b]$ מתקיים $-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|$,

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- $\int _{a}^{b}-|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$.

מליניאריות האינטגרל נקבל ש- $-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$.
בסה"כ קיבלנו כי $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$.