אי-שוויון מינקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא ואריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה p במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור p \ge 1, מגדירים את נורמת { \ell }_{ p } של וקטור x \in \mathbb{R}^n לפי הנוסחה ||\overrightarrow{x}||_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}} .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: ||x+y||_{ p }\le ||x||_{ p }+||y||_{ p }, לכל שני וקטורים x,y \in \mathbb{R}^n.

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת { \ell }_{ p } מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

{ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }||{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ { (|{ x }_{ i }|+|{ y }_{ i }|)\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } }

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ q(p-1) } } ] }^{ \frac { 1 }{ q } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } ] }^{ \frac { p-1 }{ p } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }

ולכן: { { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }\le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }, ולאחר צמצום נקבל { { ||x+y|| }_{ p } }\le { ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }.

בתורת המידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה-p של פונקציה על מרחב מידה (X,S,\mu) מוגדרת כך - ||f||_p= (\int_{X}{|f|d \mu})^{\frac{1}{p}}. המרחב L^p(X) הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ||f||_p < \infty; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - ||f+g||_p \le ||f||_p +||g||_p, ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה p=2 מתקבל מרחב הילברט L^2(X).

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי L^p; הוא מתקבל עבור המרחב L^p(X_n,P(X_n),\#), כאשר X_n=\{ 1,...,n\} ו-\# היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]