אי-שוויון מינקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא ואריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה p במרחב n ממדי, המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור p>1, מגדירים את נורמת { \ell }_{ p } של וקטור ממשי לפי הנוסחה ||\overrightarrow{x}||_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}} . תחת הגדרה זו, אי-שוויון מינקובסקי אומר: ||x+y||_{ p }\le ||x||_{ p }+||y||_{ p }, לכל שני וקטורים x,y.

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת { \ell }_{ p } מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחת אי השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח את נכונות אי-השוויון. (הוכחה זו יש שימוש באי-שוויון הולדר).

לפי אי-שוויון המשולש: { { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }||{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ { (|{ x }_{ i }|+|{ y }_{ i }|)\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } }

כעת נשתמש באי-שוויון הולדר: \sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ q(p-1) } } ] }^{ \frac { 1 }{ q } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } ] }^{ \frac { p-1 }{ p } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }

ולכן: { { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }\le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }, ולאחר צמצום נקבל { { ||x+y|| }_{ p } }\le { ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }

כפי שרצינו להוכיח.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]