אי-שוויון מרקוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי חיובי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסייה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

הצהרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה (X,\Sigma,\mu) ופונקציה מדידה f אל הישר הממשי המורחב, אז לכל t>0 מתקיים:

 \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.

במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל a>0 מתקיים

\Pr(|X| \geq a) \leq \frac{E(|X|)}{a}.

.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה  \{x\in X:f(x)\geq t\} מדידה. מתקיים:

 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}} \leq f

נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:

 \int_X t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}d\mu \leq \int_X f d\mu

לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:

 t * \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq \int_X f d\mu

נחלק ב-t ונקבל:

 \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq {1\over t} \int_X f d\mu

כנדרש.

הוכחה למשתנים מקריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי:

E[X] = \int_{0}^{\infty}x f_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}xf_{x}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}af_{x}(x)dx = aP(|X|\ge a)