אי-שוויון מרקוב

אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי חיובי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמא, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסייה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

הצהרה

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מדיד $(X,\Sigma,\mu)$ ופונקציה מדידה $f$ אל הישר הממשי המורחב, אז לכל $t>0$ מתקיים:

$\mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.$

במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל $a>0$ מתקיים

$\Pr(|X| \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(|X|)}{a}.$

.

הוכחה

מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה $\{x\in X:f(x)\geq t\}$ מדידה. מתקיים:

$1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}} \leq f$

נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:

$\int_X t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}d\mu \leq \int_X f d\mu$

לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:

$t * \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq \int_X f d\mu$

נחלק ב-t ונקבל:

$\mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq {1\over t} \int_X f d\mu$

כנדרש.

הוכחה למשתנים מקריים

יהי $X$ משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי:

$\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{\infty}x f_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}xf_{x}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}af_{x}(x)dx = aP(|X|\ge a)$