אי-שוויון מרקוב

אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון עבור ההסתברות שפונקציה אי שלילית של משתנה מקרי גדולה או שווה לקבוע נתון. אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי.

דוגמה קלאסית לשימוש באי-שוויון מרקוב היא כדי להראות שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסייה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת.

הצהרה

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מדיד $(X,\Sigma,\mu)$ ופונקציה מדידה $f$ אל הישר הממשי המורחב, אז לכל $t>0$ מתקיים:

$\mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.$

במקרה הפרטי בו מדובר על מרחב הסתברות (כלומר, בו המרחב הוא ממידה 1) אי-שוויון זה שקול לטענה שעבור כל $a>0$ מתקיים

$\Pr(|X| \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(|X|)}{a}.$

ובפרט

$\Pr( (X - \mathbb{E}(X))^2 \ge a^2) \le \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2},$

מכאן ניתן להסיק את אי-שוויון צ'בישב:

$\Pr(|X-\mathbb{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.$

הוכחה למקרה ההסתברותי

יהי $X$ משתנה מקרי רציף (ההוכחה אנלוגית עבור המקרה הדיסקרטי), אזי:

$\mathbb{E}[|X|]= \int_{-\infty}^{\infty}|x|f_{x}(x)dx \ge$

$\int_{-\infty}^{-a}|x|f_{x}(x)dx + \int_{a}^{\infty}|x|f_{x}(x)dx \geq$

$\int_{-\infty}^{-a} a f_{x}(x)dx + \int_{a}^{\infty}af_{x}(x)dx =$

$a \left[ \int_{-\infty}^{a}f_{x}(x)dx + \int_{a}^{\infty}f_{x}(x)dx \right] = aP(|X|\ge a)$