אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי שוויון צ'בישב (נקרא גם צ'בישוֹב או צ'ביצ'ב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $\ X$ קיימים, אז לכל $\ C > 0$ מתקיים: $\operatorname{P}(|X|\geq C) \leq {\operatorname{E}(X^2) \over C^2}$

בפרט, כאשר מציבים $X-\operatorname{E}X$ במקום $\ X$, ומשתמשים בעובדה כי $\operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)= \operatorname{Var}X$ מתקבלת הגרסה הבאה של אי-שוויון צ'בישב:

$\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X|\geq C) \leq {\operatorname{Var}X \over C^2}$

בגרסתו זו, אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

אי השוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי ההגדרה: $\operatorname{E}(f^2)=\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)$. אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $|f(\omega)|\geq C$ נקבל גודל קטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq \int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq\int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}C^2\,dP(\omega)=C^2\operatorname{P}(|f|\geq C)$

ועל ידי חלוקה של שני האגפים ב $\,C^2$ מקבלים את אי-שוויון צ'בישב.

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.