אי-שוויון צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, אי שוויון צ'בישב (נקרא גם צ'בישוֹב או צ'ביצ'ב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. אי השוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי \ X קיימים, אז לכל \ C > 0 מתקיים: \operatorname{P}(|X|\geq C) \leq {\operatorname{E}(X^2) \over C^2}

בפרט, כאשר מציבים X-\operatorname{E}X במקום \ X, ומשתמשים בעובדה כי \operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)= \operatorname{Var}X מתקבלת הגרסה הבאה של אי-שוויון צ'בישב:

\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X|\geq C) \leq {\operatorname{Var}X \over C^2}

בגרסתו זו, אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי ההגדרה: \operatorname{E}(f^2)=\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega). אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן |f(\omega)|\geq C נקבל גודל קטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq \int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq\int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}C^2\,dP(\omega)=C^2\operatorname{P}(|f|\geq C)

ועל ידי חלוקה של שני האגפים ב \,C^2 מקבלים את אי-שוויון צ'בישב.

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.