אי תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמאפס תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל $\,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ ב-S ולכל פולינום $p \in K[x_1,\dots,x_n]$ שאינו פולינום האפס, $\,p(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\ne 0$. בפרט, קבוצה בת איבר אחד $\,\{\alpha\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם $\alpha$ הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך. לדוגמה, תת-הקבוצה $\,\{\sqrt{\pi},2\pi+1\}$ של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונלים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

$\,p(x_1,x_2) = 2{x_1}^2-x_2+1$

מתקיים

$\,p(\sqrt{\pi},2\pi+1)=0$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה $\,\{\pi,e\}$ היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\,\mathbb{Q}$.

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי $\,e^{\alpha}$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל $\alpha$ אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n$ הם מספרים אלגברים בלתי תלויים לינארית מעל $\,\mathbb{Q}$ אז המספרים $\,e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}$ הם בלתי תלויים אלגברית מעל $\,\mathbb{Q}$.

ראו גם

• משפט הנורמליזציה של נתר