אי תלות אלגברית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמאפס תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל \,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n ב-S ולכל פולינום p \in K[x_1,\dots,x_n] שאינו פולינום האפס, \,p(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\ne 0. בפרט, קבוצה בת איבר אחד \,\{\alpha\} היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם \alpha הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך. לדוגמה, תת-הקבוצה \,\{\sqrt{\pi},2\pi+1\} של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונלים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

\,p(x_1,x_2) = 2{x_1}^2-x_2+1

מתקיים

\,p(\sqrt{\pi},2\pi+1)=0.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה \,\{\pi,e\} היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה \{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\} היא בלתי תלויה אלגברית מעל \,\mathbb{Q}.

משפט לינדמן-ויירשטראס[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי \,e^{\alpha} הוא מספר טרנסצנדנטי לכל \alpha אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם \,\alpha_1,\dots,\alpha_n הם מספרים אלגברים בלתי תלויים לינארית מעל \,\mathbb{Q} אז המספרים \,e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n} הם בלתי תלויים אלגברית מעל \,\mathbb{Q}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]