אלגברה אלטרנטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל שדה) שאבריה מקיימים את האקסיומות \ x(xy)=(xx)y, \quad x(yy)=(xy)y. כל אלגברה אסוציאטיבית, ממנה נדרשת האקסיומה החזקה יותר \ x(yz)=(xy)z, היא גם אלטרנטיבית. כל אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית (וכל אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן).

לינאריזציה של האקסיומות מביאה למסקנה שהאסוציאטור מקיים את הזהות \ (x_{\pi 1},x_{\pi 2},x_{\pi 3}) = \operatorname{sgn}(\pi)\cdot (x_1,x_2,x_3), ועל-כן נקרא שמן של אלגברות אלה "אלטרנטיביות" (בעברית, חילופיות). אלגברות אלטרנטיביות מקיימות את זהות הגמישות \ x(yx)=(xy)x, וגם את זהויות מופן (Moufang), \ (xax)y=x(a(xy)), \ y(xax)=((yx)a)x, ו- \ (xy)(ax)=x(ya)x. מאידך, (כאשר יש באלגברה איבר יחידה), הצבת a=1 מחזירה את זהות הגמישות ואת האקסיומות של האלטרנטיביות.

במובן מסוים אקסיומת האלטרנטיביות אינה חלשה בהרבה מאסוציאטיביות: כל אלגברה אלטרנטיבית הנוצרת על ידי שני אברים היא אסוציאטיבית (משפט שהוכיח אמיל ארטין), ובפרט באלגברה אלטרנטיבית יש חזקה אסוציאטיבית. כמו בתורת המבנה של אלגברות אסוציאטיביות, האובייקט הבסיסי הוא אלגברות פשוטות.

זהויות ואלטרנטיביות חד-צדדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל אלגברה אלטרנטיבית ממאפיין זר ל-6, החזקה הרביעית של כל קומוטטור שייכת לגרעין, והחזקה הרביעית של כל אסוציאטור שייכת למרכז.

אלגברה המקיימת את האקסיומה \ x(yy)=(xy)y נקראת אלטרנטיבית מימין (ובדומה, אם מתקיימת האקסיומה השנייה, \ x(xy)=(xx)y, האלגברה אלטרנטיבית משמאל). במאפיין שאינו 2, כל אלגברה אלטרנטיבית מימין (או משמאל) היא אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. בדרך כלל, אלגברה אלטרנטיבית מימין אינה בהכרח אלטרנטיבית משמאל, ולכן אינה אלטרנטיבית. עם זאת, אלטרנטיביות חד-צדדית גוררת אלטרנטיביות עבור אלגברות פשוטות למחצה, וכן עבור אלגברות המקיימות את הזהות הגמישה \ x(yx)=(xy)x.

תורת מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

רדיקלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית מוגדר, כהכללה של המקרה האסוציאטיבי, בכמה דרכים מתלכדות. זהו האידאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר; חיתוך האידאלים השמאליים המודולריים המקסימליים (אידאל שמאלי הוא מודולרי אם הוא מכיל את כל האיברים מהצורה \ x-xe עבור \ e \in R מתאים; התנאי ריק בחוגים עם יחידה); וגם חיתוך הגרעינים של כל ההצגות האי-פריקות. החוג הוא פרימיטיבי למחצה אם הרדיקל מתאפס. כל חוג פרימיטיבי (כזה שיש בו אידאל שמאלי מודולרי מקסימלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי) הוא פרימיטיבי למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים, וכל חוג פרימיטיבי הוא או אסוציאטיבי, או אלגברת קיילי. במקרים חשובים רבים, רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, ולכן מתלכד עם הרדיקל הראשוני: כך הדבר בכל חוג אלטרנטיבי ארטיני, בכל אלגברת PI נוצרת סופית (Shestakov, 1983), וגם באלגברה האלטרנטיבית החופשית אם זו נוצרת סופית או בעלת מאפיין 0‏[1].

הרדיקל הראשוני הוא האידאל הראשוני-למחצה הקטן ביותר של החוג; זהו אידאל נילי, שבדרך כלל אינו נילפוטנטי. כאשר הרדיקל הזה מתאפס, החוג נקרא ראשוני-למחצה. כל חוג אלטרנטיבי ראשוני-למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, וכל חוג ראשוני במאפיין שונה מ-3 הוא או אסוציאטיבי, או תת-חוג מלא של אלגברת קיילי (R הוא תת-חוג מלא אם הוא מכיל בסיס של האלגברה מעל המרכז שלה). התוצאה לגבי חוגים ראשוניים נכונה גם במאפיין 3, אם מניחים שרדיקל לויצקי מתאפס.

לאלגברה אלטרנטיבית מממד סופי יש רדיקל - האידאל הנילי המקסימלי היחיד, שהוא גם נילפוטנטי (ולכן פתיר). אלגברת המנה ביחס לרדיקל היא פשוטה למחצה. בפרט, אלגברה אלטרנטיבית נילית מממד סופי היא נילפוטנטית.

אלגברות ראשוניות ופשוטות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט (מקס צורן): כל אלגברה אלטרנטיבית פשוטה היא או אסוציאטיבית, או אלגברת קיילי מממד 8 (אלגברות קיילי הן הכללה של האוקטוניונים). אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל שדה F היא מכפלה ישרה של אלגברות אלטרנטיביות פשוטות, שהמרכזים שלהן ספרביליים מעל F. בהכללה למשפט הקטן של ודרברן, אלגברה אלטרנטיבית סופית עם חילוק היא שדה.

הרחבות מרכזיות ופירוק פירס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבת סקלרים של אלגברה אלטרנטיבית A, כלומר, אלגברה מהצורה \ A \otimes_F K כאשר \ K/F הרחבת שדות, גם היא אלטרנטיבית.

אם e אידמפוטנט (כלומר, איבר המקיים את השוויון \ e^2=e), אז האלגברה מתפרקת לסכום \ A=A_{00}+A_{01}+A_{10}+A_{11}, כאשר \ A_{ij} = \{x: ex=ix,\, xe=jx\} (ולכן \ e\in A_{11}). זהו פירוק פירס (Peirce decomposition) של האלגברה. הכפל בין מרכיבים מקיים \ A_{ij}A_{kl} \subseteq A_{il} אם j=k, ו- \ A_{ij}A_{kl} = 0 אם \ j \neq k ו- \ (i,j)\neq (k,l). בנוסף לזה, \ A_{ij}A_{ij} \subseteq A_{ji}. אלו תכונות דומות למקרה האסוציאטיבי, פרט להבדל אחד: שם מתקיים \ A_{ij}A_{ij}=0 אם \ i \neq j.

האלגברה החופשית[עריכת קוד מקור | עריכה]

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית עם שלושה יוצרים, שווה לאפס. במקרה הכללי, הרדיקל כולל את כל האיברים הניליים, ושווה לאברי אידאל האסוציאטור המהווים זהויות של אלגברת קיילי. ‏[2].

אלגברות מדרגה 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית עם יחידה מדרגה 3 מעל שדה F היא או הרחבה ספרבילית מממד 3, או \ F \oplus C כאשר \ C\neq F אלגברת הרכבה (עם יחידה) ‏[3].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ עבור אלגברות חופשיות: Algebra VI, Part II, עמ' 232.
  2. ^ Algebra VI, Part II, עמ' 232.
  3. ^ The Book of Involutions, משפט 34.17.