אלגברה אפינית

באלגברה מופשטת, אלגברה אפינית היא אלגברה, הנוצרת סופית מעל חוג הבסיס שלה. בדרך כלל המונח מתייחס לאלגברות (נוצרות סופית) מעל שדה, אך כמה תכונות חשובות נשארות בתוקף גם כאשר חוג הבסיס הוא חוג קומוטטיבי נתרי.

הגדרה

אלגברה $R$ מעל החוג $C$ היא אלגברה אפינית אם קיימים $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in R$ כך ש-$R=C[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$, כאשר $C[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ הוא החוג של כל הפולינומים ביוצרים $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ עם מקדמים ב-$C$. על-פי הגדרה זו, אלגברה אפינית היא אלגברת מנה של אלגברת פולינומים בכמה משתנים מעל חוג הבסיס.

תכונות ומשפטים

משפט הנורמליזציה של נתר, אותו הוכיחה אמי נתר, קובע שכל אלגברה אפינית $A$ (מעל שדה) היא מודול סופי מעל חוג פולינומים במספר משתנים מעל שדה הבסיס; מספר המשתנים שווה למספר המקסימלי של איברים בלתי תלויים אלגברית ב- $A$, הקרוי דרגת הטרנסצנדנטיות של $A$. כמודול סופי, $A$ היא הרחבה שלמה של חוג הפולינומים, ולכן יש להם אותו ממד קרול. לפיכך, ממד קרול של אלגברה אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.

משפט: אם $\mathbb {L}$ הוא שדה אפיני מעל שדה $\mathbb {F}$, אז הוא אלגברי מעל $\mathbb {F}$.

למת ארטין-טייט: אם $L$ אלגברה אפינית מעל שדה $F$, ו-$F\subset {K}\subset {L}$ כך ש-$K$ שדה, ו-$[L:K]<\infty$ אז $K$ אפיני מעל $F$. ללמה זו גרסאות רבות אחרות. למשל, אם $R,S$ הן $C$-אלגברות, כאשר $C$ חוג נתרי קומוטטיבי; $R$ הוא חוג המוכל במרכז של חוג $S$ שהוא מודול סופי מעל $R$, ו-$S$ אפינית מעל $C$, אז גם $R$ אפיני מעל $C$.

אם $R$ היא אלגברה אפינית מעל החוג $C$ ו-$A$ אידיאל ב-$R$ אז $R/A$ אפיני מעל $C/(C\cap {A})$.

דוגמה

• תהי $T$ אלגברה אפינית מעל החוג $C$, ו-$L$ אידיאל שמאלי נוצר סופית של $T$, אז $R={\begin{pmatrix}C+L&T\\L&T\\\end{pmatrix}}$ הוא אפיני מעל $C*1$, ו-$Z(R)\subseteq C+L$.

מקורות

• Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego
• Louis H.Rowen. Graduate Algebra:Commutative view, Volume 73, American Mathematical Society,Providence.