אלגברה לא אסוציאטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מחלקות חשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות. חץ ממחלקה A למחלקה B פירושו שכל אלגברה מטיפוס A היא גם B. בכחול - האלגברות הקומוטטיביות

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי דומה לאלגברה, למעט העובדה שאינו כולל דרישה לאקסיומת האסוציאטיביות (תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים, כמובן, גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית"). במלים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי \ A שבמרכזו חוג קומוטטיבי \ C.

אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות כולן משפחות חשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות. בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות.

הגרעין והמרכז[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים \ (g,x,y)=(x,g,y)=(x,y,g)=0 לכל x,y, כאשר \ (\cdot,\cdot,\cdot) הוא האסוציאטור. זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. המרכז מוגדר, כמו במקרה האסוציאטיבי, כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A. אידאל האסוציאטור הוא האידאל הנוצר על ידי האיברים \ (x,y,z), כלומר \ D(A)=A(A,A,A)A. זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מבטיחות שהאידאל שווה ל- \ (A,A,A)+(A,A,A)A=(A,A,A)+A(A,A,A).

אלגברת הפעולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באלגברה לא אסוציאטיבית A, פעולת הכפל משמאל באיבר x מגדירה הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים \ L_x : A \rightarrow A, על ידי \ L_x(y) = xy. זהו איבר של אלגברת ההומומורפיזמים \ \operatorname{End}(A), שהיא כמובן אסוציאטיבית. בדרך כלל (למשל, כאשר ל-A יש איבר יחידה), ההעתקה \ x \mapsto L_x היא חד-חד-ערכית (השומרת כפל בדיוק כאשר A אסוציאטיבית). באופן דומה מוגדרת הפעולה של כפל מימין: \ R_x(y) = yx.

את האקסיומות המגדירות מחלקות שונות של אלגברות לא-אסוציאטיביות אפשר לנסח, בדרך-כלל, בשפה של הפעולות מימין ומשמאל. לדוגמה, A אסוציאטיבית אם ורק אם \ L_xR_y = R_yL_x לכל x,y. אלגברות אלטרנטיביות מוגדרות לפי האקסיומות \ L_x^2 = L_{x^2} ו- \ R_x^2 = R_{x^2}, בעוד שאלגברות ז'ורדן הן אלו המקיימות \ R_x=L_x (היינו, קומוטטיביות), ו- \ [L_x,R_{x^2}]=0 (כאשר \ [\cdot,\cdot] הוא הקומוטטור של אופרטורים).

הזהות \ L_x R_x = R_x L_x (כלומר, \ x(yx)=(xy)x לכל x ו-y) נקראת זהות הגמישות, והיא מתקיימת ברוב המחלקות החשובות של אלגברות לא-אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, ז'ורדן, ואלגברות אלטרנטיביות.

מכיוון שתורת המבנה של אלגברות אסוציאטיביות מפותחת יותר, ככלל, מזו של אלגברות לא אסוציאטיביות, יש ערך למבנים אסוציאטיביים שאפשר לשייך לאלגברה לא אסוציאטיבית. הדוגמה החשובה ביותר למבנה כזה הוא אלגברת הפעולות, הנוצרת (כתת-אלגברה אסוציאטיבית של \ \operatorname{End}(A)) על ידי פעולות הכפל מימין ומשמאל. אלגברת הפעולות היא נילפוטנטית אם ורק אם A כזו. אם A אלגברה פשוטה או פשוטה למחצה, גם אלגברת הפעולות כזו, והכיוון ההפוך נכון בכל האלגברות האלטרנטיביות.

אלגברת הנגזרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור \ D : A \rightarrow A המקיימות את הזהות \ D(ab)=aD(b)+D(a)b, מסמנים ב-\ \operatorname{Der}(A). זוהי תת-אלגברת לי של \ \operatorname{End}(A). נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות \ L_x, R_x. ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.

מכפלה טנזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגברות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה. לדוגמה, המכפלה של שתי אלגברות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגברות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]