אלגברה ספרבילית

בתורת החוגים, אלגברה ספרבילית היא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי, הפועלת על עצמה באופן מסוים. הגדרה זו מכלילה את ההגדרה של הרחבת שדות ספרבילית: הרחבת השדות K/F היא ספרבילית, אם ורק אם K אלגברה ספרבילית מעל F.

יהי C חוג קומוטטיבי, ותהי R אלגברה מעל C (כלומר, חוג המכיל את C במרכז שלו). מגדירים $\ R^e = R \otimes_C R^{\operatorname{op}}$, המכפלה הטנזורית מעל C, כאשר $\,R^{\operatorname{op}}$ היא האלגברה המנוגדת, שיש לה המבנה החיבורי של R, עם פעולת הכפל בסדר ההפוך. מודולים מעל $\,R^{\operatorname{op}}$ אינם אלא בי-מודולים מעל R (מימין ומשמאל). בפרט, האלגברה $\ R^e$ פועלת על $R$ על ידי $\,(a\otimes b)x = axb$, באופן ההופך את $R$ למודול מעל $\,R^{e}$.

האלגברה R היא ספרבילית, אם R הוא מודול פרויקטיבי מעל $\,R^{e}$. תכונה זו שקולה לכך שלכל בי-מודול M מעל R, כל נגזרת פורמלית של R עם ערכים ב-M (היינו, פונקציה אדיטיבית $\ d : R \rightarrow M$ המקיימת $\ d(ab) = ad(b)+d(a)b$) היא פנימית: קיים $\ x\in M$ כך ש-$\ d(a) = ax-xa$.

לדוגמה, אלגברת המטריצות $\ \operatorname{M}_n(C)$ ספרבילית מעל C (ובפרט C ספרבילית מעל עצמה). את הקשר בין אידאלים של אלגברה ספרבילית לאידאלים מעל המרכז שלה מספקת העובדה השימושית הבאה: לכל אידאל A של המרכז $\ Z(R)$, מתקיים $\ A = Z(R) \cap A R$.

אם אלגברה R היא ספרבילית מעל החוג C ופרויקטיבית כמודול מעליו, אז R נוצרת סופית כמודול.

ספרביליות והמכפלה הטנזורית

ספרביליות נשמרת תחת פעולות טבעיות רבות. אם $\ R_1,R_2$ ספרביליות מעל C, אז גם המכפלה הישרה $\ R_1 \times R_2$ ספרבילית. אם $\ R_1,R_2$ ספרביליות מעל $\ C_1,C_2$ בהתאמה, כאשר $\ C_1,C_2$ הן אלגברות קומוטטיביות מעל C, אז $\ R_1 \otimes_C R_2$ ספרבילית מעל $\ C_1 \otimes C_2$, ובמקרה זה $\ Z(R_1 \otimes R_2) = Z(R_1) \otimes Z(R_2)$. בפרט, המכפלה הטנזורית של אלגברות ספרביליות היא ספרבילית. ספרביליות נשמרת תחת הרחבת סקלרים: אם R ספרבילית מעל C, אז לכל C-אלגברה $\ C'$, המכפלה הטנזורית $\ C' \otimes_C R$ היא ספרבילית מעל $\ C'$. כל מנה של אלגברה ספרבילית (שהיא אלגברה מעל C) היא ספרבילית.

קל יותר להיות ספרבילי ככל שחוג הבסיס גדול יותר: אם R אלגברה מעל $\ C'$ המכילה תת-חוג C, והיא ספרבילית מעל C, אז היא ספרבילית גם מעל $\ C'$. מאידך, אם במקרה זה $\ C'$ עצמה ספרבילית מעל C, אז גם ההיפך נכון: אם R ספרבילית מעל $\ C'$, אז היא ספרבילית גם מעל C (הספרביליות של 'C מעל C מבטיחה גם שאם R פרויקטיבית מעל 'C אז היא פרויקטיבית גם מעל C).

במקרים מסוימים אפשר 'לקלף' ספרביליות: אם המכפלה הטנזורית $\ R \otimes_C R'$ ספרבילית מעל C ואחד הגורמים הוא פרויקטיבי בנאמנות (כלומר, פרויקטיבי, ולכל אידאל I של C, הכפל ב-I מחזיר תת-מודול אמיתי), אז הגורם השני ספרבילי. אם $\ R \otimes C'$ ספרבילי מכל $\ C'$ כאשר $\ C'$ פרויקטיבית בנאמנות מעל C, אז R ספרבילי מעל C. אם R ספרבילי מעל C ופרויקטיבי בנאמנות מעל C-אלגברה קומוטטיבית $\ C'$, אז $\ C'$ ספרבילית מעל C.

ספרביליות מעל שדה

אלגברה A מעל שדה F היא ספרבילית אם ורק אם לכל הרחבת שדות K/F, האלגברה המתקבלת מהרחבת הסקלרים $\ K \otimes_F A$ היא פשוטה למחצה ארטינית, כלומר, סכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות ארטיניות. בפרט, A עצמה פשוטה למחצה וארטינית, ואפשר לזהות את הספרביליות בפירוק שלה לסכום ישר: לשם כך הכרחי ומספיק לדעת שכל מרכיב פשוט הוא ספרבילי בפני עצמו, וזה קורה בדיוק כאשר המרכז שלו, שהוא שדה, הוא הרחבה ספרבילית של F. תכונה זו, לפיה הספרביליות של המרכזים קובעת את הספרביליות של האלגברה, נכונה גם עבור אלגברות אלטרנטיביות.

בפרט, אלגברה קומוטטיבית היא ספרבילית מעל שדה אם ורק אם היא סכום ישר של הרחבות ספרביליות של שדות. כך מתלכדות באלגברה ספרבילית שתי תכונות: אחת אריתמטית - הספרביליות של אברים, ואחת מבנית - התנאי שהאלגברה תשאר פשוטה למחצה לאחר הרחבת סקלרים. הקשר בין שני התנאים נובע מכך שאם K/F הרחבה לא ספרבילית, אז ב-$\ K \otimes_F K$ יש אברים נילפוטנטיים.