אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות \ x^n מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל \ x((xx)x)=(xx)(xx), וכן הלאה. למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות, הכוללת את כל האלגברות האלטרנטיביות (ובכללן האלגברות האסוציאטיביות), אלגברות ז'ורדן, ואלגברות לי.

הגדרה אקסיומטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר את החזקות באינדוקציה: \ x^{n+1}=x\cdot x^n, כאשר \ x^1=x. לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית (ח"א) אם מתקיים \ x^i\cdot x^j=x^{i+j} לכל i,j.

בפרט, הקומוטטור \ [x,x^2] והאסוציאטור \ (x,x,x^2) = x^2\cdot x^2 - x\cdot x^3 מתאפסים. במאפיין אפס, הזהות הכללית נובעת משתי הנחות אלה. במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית המקיימת את הזהות \ x^2\cdot x^2=x\cdot x^3 היא אלגברה (קומוטטיבית) עם חזקות אסוציאטיביות; במאפיין 3 ו-5 יש צורך גם בזהויות מדרגה 5 או 6 כדי להגיע לאותה מסקנה.

באלגברה יש חזקה אסוציאטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי איבר אחד היא אסוציאטיבית. לשם השוואה, אלגברה היא אלטרנטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי שני אברים היא אלטרנטיבית.

חזקה אסוציאטיבית בהחלט[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאלגברה A יש חזקה אסוציאטיבית בהחלט (strictly power-associative) אם יש לה חזקה אסוציאטיבית לאחר כל הרחבת סקלרים, כלומר כל האלגברות \ A \otimes_F K הן בעלות חזקה אסוציאטיבית (כאשר K/F הרחבת שדות כלשהי). במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת חזקה אסוציאטיבית היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.

המעטפת הקומוטטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאפיין שונה מ-2, אפשר להגדיר פעולה חדשה על המרחב הווקטורי של האלגברה A, לפי \ x*y=\frac{1}{2}(xy+yx). באלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית, האלגברה המתקבלת, המסומנת ב- \ A^+, היא קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית. מכיוון שלשתי האלגברות אותו מבנה חיבורי, אפשר להעביר תכונות שונות של \ A^+ גם ל-\ A.

תורת מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאלגברות בעלות חזקה אסוציאטיבית מממד סופי יש רדיקל נילי (היינו, אידאל נילי מקסימלי יחיד), N; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי. אם N=0, האלגברה היא פשוטה למחצה, ואם N=A הוא האלגברה כולה, זוהי אלגברה נילית. לדוגמה, כל אלגברת לי היא אלגברה נילית.

במאפיין אפס, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א שהיא פשוטה למחצה, היא אלגברת ז'ורדן. בכל מאפיין שאינו שתיים, אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א בהחלט, שהיא פשוטה ואינה נילית, ושקיימת לה הרחבת סקלרים עם שלושה אידמפוטנטים אורתוגונליים, היא אלגברת זו'רדן.

במאפיין שונה מ-5, לאלגברה A עם חזקה אסוציאטיבית שיש לה תבנית בילינארית סימטרית אסוציאטיבית (בדומה לאלגברות פרובניוס) כך ש- \ (e,e)\neq 0 אם \ e\neq 0 הוא אידמפוטנט ו- \ (x,y)=0 אם xy נילפוטנט, \ A/\operatorname{Nil}A אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית, כאשר \ \operatorname{Nil}A הוא הרדיקל של התבנית.

פירוק פירס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל אלגברה עם ח"א מממד סופי, שאינה נילית (ואפילו אם אין מניחים שיש בה איבר יחידה), יש אידמפוטנטים (איברים המקיימים את השוויון \ e^2=e). קיומם של אלה מאפשר לפרק את האלגברה למעין מרחבים עצמיים, כמו במקרה האסוציאטיבי, כפי שיוסבר להלן.

כל אידמפוטנט של A הוא גם אידמפוטנט של \ A^+, והפירוק של A מתקבל מפירוק מקביל של \ A^+. על-כן נניח בהמשך הסעיף שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. אם e אידמפוטנט, אז אפשר לפרק את האלגברה לסכום ישר \ A = A_0 \oplus A_{1/2} \oplus A_1, כאשר \ A_{i} = \{x : xe+ex=2ix\}; למעשה \ A_0 = \{x: xe=ex=0\} בעוד ש- \ A_1 = \{x: xe=ex=x\} (ולכן \ e\in A_1 הוא איבר יחידה שם).

במקרה הקומוטטיבי, מרכיבי הפירוק מקיימים את היחסים הבאים: \ A_0A_1 = 0, \ A_{1/2}A_{1/2} \subseteq A_0+A_1, ו- \ A_i A_{1/2} \subseteq A_{1/2}+A_{1-i} עבור \ i=0,1. לשם השוואה, בפירוק פירס של אלגברת ז'ורדן (שהיא תמיד קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית) מתקיים היחס החזק יותר, \ A_iA_{1/2} \subseteq A_{1/2} עבור \ i=0,1.

בנוסף לזה, אם מסמנים ב- \ h : A \rightarrow A_{1/2} את ההיטל על המרכיב המתאים בפירוק לעיל, אז \ x\mapsto 2\cdot h\circ L_x מגדיר הומומורפיזמים של אלגברות, מ- \ A_0,A_1 לאלגברת ז'ורדן המיוחדת \ H^+, כאשר \ H = \operatorname{Hom}(A_{1/2}).

אלגברות חילוק סופיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאפיין שונה מ- 2, 3 ו- 5, לא קיימת אלגברת חילוק סופית בעלת ח"א, שאינה שדה. תוצאה זו נכונה גם במאפיין 3 או 5 אם מניחים ח"א בהחלט.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.