אלגברה ריבועית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אלגברה ריבועית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (עם יחידה) A שכל איבר שלה שייך להרחבה דו-ממדית של שדה הבסיס. הדוגמה הבולטת לאלגברה כזו היא אלגברת קווטרניונים, ובפרט אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_2(F). באופן כללי יותר, כל אלגברה המתקבלת מבניית קיילי-דיקסון היא ריבועית.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי ההגדרה, האלגברה מצוידת במבנה נוסף: לכל איבר \ x\in A קיימים \ t(x),n(x) \in F כך ש- \ x^2 - t(x)x+n(x) = 0. אם המאפיין של שדה הבסיס הוא 2, דורשים שהפונקציה t תהיה לינארית. הלינאריות הזו נובעת מן ההגדרה בכל מאפיין אחר, אבל במאפיין 2, יש אלגברות בוליאניות שכל איבר שלהן שייך להרחבה דו-ממדית, אבל אינן ריבועיות (משום שלא ניתן לבחור את t כך שתהיה לינארית). כשהמאפיין אינו 2, הפונקציה n היא תבנית ריבועית כפלית: \ n(xy) = n(x)n(y), ואם היא אינה מנוונת, A נעשית אלגברת הרכבה.

נניח שהמאפיין של שדה הבסיס אינו 2. הלינאריות של t מפרקת את האלגברה לסכום ישר \ A = F \oplus V, כאשר \ V = \operatorname{Ker}(t) הוא אוסף הווקטורים ה"טהורים" של האלגברה. יש התאמה בין אלגברות ריבועיות \ A = F+V לבין זוגות סדורים של פעולה בינארית אנטי-סימטרית \ V \times V \rightarrow V, ותבנית בילינארית \ V \times V \rightarrow F. התאמה זו לאוסף "פרוע" של אובייקטים מראה שאין טעם לנסות למיין אלגברות ריבועיות, אלא אם הן מקיימות תכונות אלגבריות נוספות. Osborn הראה שהממד של אלגברה ריבועית שבה כל האברים הפיכים, ושבה כל שני אברים יוצרים תת-אלגברה מדרגה 2 או 4, הוא חזקת-2.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ה"ריבועיות" של אלגברה אינה תלויה בשדה הבסיס, כלומר, היא נשמרת תחת הרחבת סקלרים, ואינה נולדת מהרחבה כזו. כל אלגברה ריבועית היא אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות במובן החזק.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Nonassociative algebra, Schafer.
  • J. Marshall Osborn, Quadratic division algebras, Transactions of the AMS 105(2), 1962.