אלגברת קווטרניונים

במתמטיקה, אלגברת קווטרניונים היא סוג של אלגברה, המהווה דוגמה מן הממד הקטן ביותר האפשרי לחוג פשוט או לחוג עם חילוק, שאינו שדה. את אלגברת הקווטרניונים הראשונה גילה המילטון ב-1843, והיא נקראת על שמו, אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

על-פי ההגדרה, אלגברת קווטרניונים היא אלגברה פשוטה שהממד שלה מעל המרכז (שהוא בהכרח שדה, נאמר F) הוא 4. דוגמה אחת כזו היא אלגברת המטריצות $\ \operatorname{M}_2(F)$. זוהי אלגברת הקווטרניונים היחידה שיש בה מחלקי אפס, וכל אלגברת קווטרניונים אחרת היא חוג עם חילוק.

הרחבת סקלרים ושדות פיצול

אם Q אלגברת קווטרניונים שמרכזה השדה F, ו- $\ F \subseteq K$ הרחבת שדות, אז המכפלה הטנזורית $\ Q \otimes_F K$ היא אלגברת קווטרניונים שמרכזה K. בפרט, אם המכפלה היא אלגברת המטריצות מעל K, אז K נקרא שדה פיצול של האלגברה. אלגברה פשוטה (מממד סופי) מעל שדה סגור אלגברית מוכרחה להיות אלגברת מטריצות, ולכן הסגור האלגברי של F מפצל כל אלגברת קווטרניונים מעליה.

תת-שדות

כל איבר שאינו מרכזי באלגברת קווטרניונים Q יוצר תת-אלגברה מממד 2; אם Q חוג עם חילוק, תת-אלגברה זו היא בהכרח שדה. בין תת-השדות יש לאלגברה גם תת-שדות ספרביליים מעל המרכז (זוהי מסקנה של משפט קטה (Koethe), שהוכחתו עבור קווטרניונים קלה במיוחד). כל תת-שדה המכיל את המרכז הוא בהכרח תת-אלגברה מקסימלית. בפרט, כל תת-שדה K הוא המרַ‏כז של עצמו.

הצגה על ידי יוצרים ויחסים

אם $\ F \subset K \subset Q$ תת-שדה ספרבילי, אז יש אוטומורפיזם לא טריוויאלי $\ \sigma$ של K מעל F. אם המאפיין של F שונה מ-2, יש ב- K איבר x המקיים $\ \sigma(x) = -x$, ואז $\ 0 \neq a = x^2 \in F$; אם המאפיין הוא 2, אז יש איבר המקיים $\ \sigma(x) = x+1$, ואז $\ a = x^2 - x \in F$.

לפי משפט סקולם-נתר, יש איבר $\ y\in Q$ שהצמדה בו משרה את $\ \sigma$, היינו $\ y k y^{-1} = \sigma(k)$ לכל $\ k \in K$. במאפיין שונה מ-2, $\ yx = -xy$, ובמאפיין 2 $\ yx = xy+y$. מכיוון ש-$\ 0 \neq b = y^2$ מתחלף עם K ועם y, b הוא איבר מרכזי.

פירושו של דבר שבמאפיין שאינו 2 $\ Q = F[x,y\,|\,x^2 = a,\,y^2 = b,\,yx = -xy]$; יוצרים ויחסים אלה מציגים אלגברת קווטרניונים לכל $\ 0 \neq a,b \in F$, ומסמנים את האלגברה בקיצור בסימון $\ (a,b)_{2,F}$ או $\ \left(\frac{a,b}{F}\right)_2$, ולפעמים סתם $\ (a,b)$.

במאפיין 2, $\ Q = F[x,y\,|\,x^2-x = a,\,y^2 = b,\,yx = xy+y]$; גם כאן זוהי אלגברת קווטרניונים לכל $\ a,b \in F$ עם $\ b \neq 0$; את האלגברה הזו מסמנים בסימון $\ [a,b)$.