אקסטרפולציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתחום האנליזה הנומרית, אקסטרפולציה הוא שמו של התהליך המתאר יצירת נקודות חדשות מחוץ לתחום סופי של נתונים ידועים. התהליך דומה לאינטרפולציה, שזהו התהליך ליצירת נקודות בתוך התחום הנתון אף שהוודאות והדיוק של האקסטרפולציה, חלשה יותר מהאינטרפולציה. כמו כן באקסטרפולציה עצמה, ככל שהנקודה החדשה רחוקה מתחום המדידה, ודאותה פוחתת.

אחת הדרכים הבסיסיות לביצוע אקסטרפולציה היא יצירת פונקציה על בסיס הנתונים הקיימים והצבה של ערכים מחוץ לתחום בפונקציה שהתקבלה.

אקסטרפולציה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אקסטרפולציה לינארית נעשית על ידי לקיחת הערכים האחרונים בתחום, יצירת ישר העובר ביניהם והמשכתו אל מחוץ לתחום. שיטה זו יעילה בעיקר למקרים שהגרף של הנתונים קרוב לקו ישר, והמרחק של הערכים החדשים מהנתונים, קטן.

ניתן לשפר את הדיוק של האקסטרפולציה על ידי חישוב השיפוע הממוצע בין הערכים הנתונים, או בין חלק מסוים של ערכים נתונים.

אקסטרפולציה באמצעות פולינום[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן אוסף נקודות  (x_k,y_k),k=1\ldots n קיים פולינום אחד ויחיד ממעלה שאינה עולה על \ n-1 אשר עובר דרך כל הנקודות הנתונות, וכל שנותר הוא לחשב אותו.

צורת לגראנז'[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך אחת לחשב את הפולינום היא באמצעות השיטה שמכונה "הפולינום בצורת לגראנז'": עבור אוסף הנקודות, הפולינום בצורת לגראנז' המתאים הוא:

 p(x) = \sum_{j=1}^{n} y_j \prod_{k=1;k \neq j}^{n} \frac{x-x_k}{x_j-x_k}

קל לראות כי לכל \ q \neq j מתקיים \ P_j(x_q) = 0 וכן: \ P_j(x_j) = y_j . לכן ברור כי:  \forall k: P(x_k) = y_k , כלומר הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.

צורת ניוטון[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת לחשב את הפולינום היא באמצעות צורת ניוטון. לשיטה זו יתרונות על פני השיטה הקודמת בכך שהיא דורשת פחות פעולות חישוב, וקל להוסיף לפולינום הקיים נקודות נוספות, בעוד שבשיטת לגראנז' יש לחשב הכול מחדש.

צורת ניוטון מחושבת כך:

\ p(x) = \sum_{i=1}^{n} [x_1,x_2,\dots,x_i]\prod_{k=1}^{i-1}\left(x-x_k\right)

כאשר הביטוי  [x_1,x_2,\dots,x_i] נקרא "הפרש מחולק", והוא מוגדר בצורה הרקורסיבית הבאה:

 \ [x_k]=y_k

 [x_1,x_2,\dots,x_k]=\frac{[x_2,\dots,x_k]-[x_1,x_2,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_1}

שיטה זו מניבה אותו הפולינום שהניבה שיטת לגראנז', אך השימוש בה יעיל יותר; כדי להוסיף נקודה נוספת לאקסטרפולציה די לחשב את האיבר החדש שמוסיפים לסכום, ואין צורך לחשב את הסכום כולו מחדש.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]