בעיית הברכיסטוכרון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ברכיסטוכרון

בעיית הברכיסטוכרון היא בעיה בפיזיקה ומתמטיקה. מקור המילה מיוונית, ומשמעותה "הזמן הקצר ביותר".

תיאור הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן נקודות a ו-b, כאשר a איננה מתחת ל-b, יש למצוא את צורתו של התיל שחרוז המחליק לארכו יגיע מ-a ל-b בזמן הקצר ביותר. תנועת החרוז מושפעת מכח כבידה קבוע בלבד.

פתרון הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אף כי המרחק הקצר ביותר בין a ל-b הוא הקו הישר המחבר ביניהן, תנועה בקו ישר אינה מנצלת ביעילות את האנרגיה הפונציאלית של החרוז לצורך הגברת המהירות שלו. האינטואיציה הפיזיקלית מובילה לכן למסקנה שצורת התיל צריכה להיות קמורה כלפי מטה. פתרון הבעיה באמצעות חשבון וריאציות מראה שהצורה המבוקשת היא ציקלואידה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסיון לפתור את הבעיה נעשה כבר בשנת 1638 על ידי גלילאו גליליי, אך הוא שגה וטען כי הפתרון הוא קשת של מעגל. הבעיה הוצגה בשנית בשנת 1696, על ידי המתמטיקאי יוהאן ברנולי, וכשנה לאחר מכן פרסמו חמישה מתמטיקאים שונים את הפתרון, ביניהם יוהאן ברנולי עצמו, אחיו יאקוב ברנולי, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ והמרקיז דה לופיטל. האגדה מספרת כי ניוטון פתר את הבעיה בתוך יום אחד בלבד, ושלח את פתרונו בעילום שם לברנולי, שאמר "מן העקבות מזהים את האריה".

בפיתרונו, השתמש יוהאן ברנולי בניתוח בעיית הטאוטוכרון, שנפתרה על ידי כריסטיאן הויגנס בשנת 1659. אחיו יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.