ב (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, יש שימוש באות ב׳ בייצוג עוצמות אינסופיות. השימוש באות ב׳ במתמטיקה דומה לשימוש באות א׳, אך אינו זהה (אלא בקבלת השערת הרצף כנכונה). בניגוד לשימוש ב־\aleph, השימוש ב־\beth לא בהכרח מכסה את כל העוצמות האינסופיות שקיימות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית נגדיר

\beth_0=\aleph_0

כלומר, \beth_0 הוא העוצמה של כל קבוצה בת מנייה. כעת נגדיר

\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}

כלומר, כל \beth_{\alpha} הוא העוצמה של קבוצה המהווה קבוצת חזקה של קבוצה שעוצמתה היא \beth_{\alpha-1}.

בצורה כזאת ניתן להתאים לכל מספר טבעי n עוצמה \beth_n. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל מספר סודר על ידי הגדרה לסודרים גבוליים:

\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}

וסודרים עוקבים כמו קודם.

לפי משפט קנטור, לכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה יותר, ואין עוצמה אינסופית גדולה ביותר. לכן לכל \beth_{\alpha} קיים \beth_{\alpha+1} שגדול ממנו.

קשר לשימוש ב־א׳ במתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

השערת הרצף (שלפיה עוצמת הרצף היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר שאינה בת מנייה) שקולה למשפט \beth_1=\aleph_1. השערת הרצף המוכללת שקולה למשפט \beth_\alpha = \aleph_\alpha.