גאומטריה ספירית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
משולש בגאומטריה ספירית

גאומטריה ספֵירִית היא ענף בגאומטריה לא אוקלידית, העוסק בתכונות של ישרים על ספירה, היינו מעטפת של כדור. כאשר רדיוס הכדור שואף לאינסוף מתקבלת הגאומטריה המישורית, האוקלידית.

בגאומטריה הספירית נקודה היא זוג נקודות אנטיפודיות על פני הספירה, והקוים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור (אלו הם הקוים הגאודזיים במטריקה הסטנדרטית של הספירה). משום כך, כל שני ישרים נחתכים, והגאומטריה אינה אוקלידית. היחס "בין", המשחק תפקיד מרכזי באקסיומטיקה של הילברט לגאומטריה האוקלידית, אינו קיים בגאומטריה הספירית.

השוואה לגאומטריה האוקלידית[עריכת קוד מקור | עריכה]

על גבי מעטפת כדורית, סכום הזויות של המשולש יהיה גדול מ 180°. מעטפת הכדור איננה משטח אויקלידי, אף על פי כן ניתן להשתמש בחוקי הגאומטריה האויקלידית לקבלת הערכה. במשולש קטן אשר ממוקם על פני כדור הארץ, סכום הזויות קרוב מאוד ל-180°. את מעטפת הכדור ניתן להציג על ידי אוסף של מפות דו-ממדיות.
גאומטריה אוקלידית גאומטריה ספירית
אקסיומת המקבילים: דרך כל נקודה עובר ישר אחד ויחיד המקביל לישר נתון. כל שני ישרים נחתכים.
סכום הזוויות במשולש שווה ל 1800 סכום הזוויות במשולש גדול מ 1800
קיימים מלבנים. לא קיימים מלבנים.
קיימים משולשים דומים שאינם חופפים שני משולשים השווים בשלוש זוויותיהם הם חופפים.
לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות. היחס "בין" לא קיים.

שטח מצולע[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, במשולש ספירי מתקיים: \ \alpha+\beta+\gamma>180^{\circ} וברדיאנים: \ \alpha+\beta+\gamma>\pi. ההפרש \ E=\alpha+\beta+\gamma-\pi נקרא מגרעת המשולש. שטח המשולש נתון על ידי הנוסחה: \ E \cdot R^2.

באופן כללי, אם נסמן את המגרעת של מצולע בעל n צלעות: \ E=\alpha_1+...+\alpha_n-(n-2)\pi כאשר \ \alpha_1,...,\alpha_n הן זוויות המצולע, אזי שטח המצולע שווה ל E \cdot R^2.

טריגונומטריה ספירית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – טריגונומטריה ספירית
Triangle sphérique.svg

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה זו:

הקשרים תרבותיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהלכה היהודית, ישנו חיוב להתפלל לכיוון ירושלים מכל מקום על פני כדור הארץ. לצורך זה מוזכרת בספרי הלכה הגאומטריה הספירית (או כפי שקרויה שם: גאומטריה כדורית), כאמצעי לחישוב זווית התפילה מכל מקום[1].

ניתן להשתמש בשיטה זו גם באסלאם, על מנת להתפלל לכיוון מכה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ "שולחן ערוך הרב" לרבי שניאור זלמן מלאדי, אורח חיים, סימן צד סעיף ב