גבול של סדרה

בחשבון אינפיניטסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה, כך שהמרחק בין האיברים לגבול קטן כרצוננו. מושג זה, יחד עם התחולה הרחבה יותר של רעיון הגבול, מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים, "בסופו של דבר". סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת. סדרה שאין לה גבול (אינה מתכנסת) נקראת סדרה מתבדרת.

באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה שאבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה.

הגדרת הגבול

אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו. הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית, שכן היא אינה מסבירה מה הכוונה ב"הולכים ומתקרבים". הגדרה מדויקת יותר תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא איבר בסדרה, שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי (שיכול להיות גדול מאוד), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול.

על גבי הישר הממשי, המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של הפרשם, ועל כן משתמשים בו בהגדרה המתמטית.

הגדרה: תהא $\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי $\!\,L$, או ש-$\ L$ הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת $\lim_{n \to \infty}a_n=L$ או בקיצור $\ a_n\to L$ אם לכל מספר ממשי $\ \varepsilon > 0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $\ N_0$ כך שלכל $\ n$ המקיים $\ n>N_{0}$ מתקיים $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$.

יש לשים לב שהאינדקס $\ N_0$ תלוי ב - $\varepsilon$. ככל ש $\varepsilon$ יהיה קטן יותר, $\ N_0$ המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעתים מסמנים $\ N_\varepsilon$ במקום $\ N_0$ כדי להדגיש עובדה זו.

כיוון שעד $\ N_0$ יש רק מספר סופי של אינדקסים אפשר לומר שעבור כל $\varepsilon$, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- $\varepsilon$ מהגבול- כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.

אפיון התכנסות לפי קושי

תנאי קושי הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שלמרות שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

הגדרה: תהא $\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי $\ \varepsilon > 0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $\ N_0$ כך שלכל $\ m,n$ המקיימים $\ m>N_{0}, \ n>N_{0}$ מתקיים $\left|a_n-a_m\right| < \varepsilon$.

גבול במובן הרחב

אומרים שסדרה $\ a_n$ שואפת לאינסוף (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי $\ M$ קיים מספר טבעי $\ N_0$ כך שלכל $\ n$ המקיים $\ n>N_{0}$ מתקיים $\ a_n > M$. ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף דומה.

כך למשל סדרה כמו $\ 1,2,3,4,5,\ldots$ שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה $\ 1,2,1,3,1,4\ldots$ אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו.

הגבול כאופרטור

בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב- $\ \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת $\ (a_n)$, את גבולה $\ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n$, שהוא מספר ממשי. האופרטור מכבד את פעולות החיבור, הכפל, והכפל בסקלר, ובכך הוא מהווה הומומורפיזם של אלגברות:

• $\ \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n+\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$
• $\ \lim_{n\rightarrow \infty}(a_nb_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$
• $\ \lim_{n\rightarrow \infty}(\alpha b_n)=\alpha\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$
• $\ \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}$, בתנאי שהסדרה $\ (b_n)$ שונה מאפס וגבולה שונה מאפס.

מושגים קרובים

כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים. ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב", כפי שהוסבר לעיל.

גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית. כאשר סדרה מתכנסת כל הגבולות החלקיים שלה שווים. אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון.

ראו גם

• גבול (מתמטיקה)
• גבול של פונקציה
• גבול (טופולוגיה)