גבול של פונקציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גבול של פונקציה הוא מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, שמתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת או גדל בלי הגבלה, או קטן בלי הגבלה. מושגי יסוד רבים באנליזה מוגדרים בשפה של גבולות של פונקציות, לדוגמה הרציפות, והגזירות מוגדרים על ידי קיום של גבולות מסוימים.

פונקציות ממשיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר עוסקים בפונקציה ממשית, יש עניין רב בשאלה לאן "שואפים" ערכי הפונקציה כאשר ערכי המשתנה מתקרבים לנקודה מסוימת. ניתן לחשוב על גבול של פונקציה באופן פשטני כנקודה שאם נוסיף אותה לפונקציה היא תהיה המשך "טבעי" שלה. באופן אינטואיטיבי \ L הוא הגבול של הפונקציה בנקודה \ x_0 אם כאשר \ x הולך ומתקרב ל- \ x_0 אז ערך הפונקציה \ f(x) מתקרב ל-\ L. באופן כללי, הפונקציה לא צריכה להיות מוגדרת בנקודת הגבול. יתר על כן, פעמים רבות גם כאשר הפונקציה מוגדרת בנקודת הגבול, הגבול לא שווה לערך הפונקציה. לדוגמה, לפונקציה הבאה יש גבול בנקודה x=0 והוא שווה ל-0, למרות שערך הפונקציה בנקודה הוא 1:

 f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &  & x \ne 0 \\ 1 &  & x = 0 \end{matrix}\right.

בנוסף לכך קיימים הגבול מימין והגבול משמאל של פונקציה. הגבול מימין של הנקודה \ x_0 מוגדר, באופן אינטואיטיבי, כמספר \ L שכאשר \ x הולך ומתקרב ל-\ x_0 מימין (כלומר מתקרב מכיוון המספרים הגדולים מ-\ x_0) אזי ערך הפונקציה הולך ומתקרב ל-\ L. באופן דומה מוגדר גם הגבול משמאל (הפעם המשתנה שואף ל-\ x_0 מכיוון המספרים הקטנים ממנו). הצורך בגבולות אלו מתברר כאשר רוצים לחשב גבול של פונקציה מהסוג הבא:

 f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &  & x = 0 \\ x &  & x > 0 \\ 2 &  & x < 0 \end{matrix}\right.

בנקודה \ x=0 לפונקציה לא קיים גבול, מאחר שלא קיים מספר אחד שאליו שואפת הפונקציה כאשר \ x שואף ל-0. לעומת זאת קיימים גבולות מימין ומשמאל. הגבול מימין שווה ל-0 והגבול משמאל שווה ל-2. כפי שניתן לראות, אין חובה לכך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ואין חובה לכך שאחד מהם יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה עצמה.

ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה. הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות.

בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול.

ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול. תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה. רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עד כה דנו בגבול מבלי להגדיר אותו מתמטית ובאופן מדויק. כיום מקובלות שתי הגדרות (שקולות) של גבול. הראשונה, של קארל ויירשטראס, מבוססת על עבודתו של קושי, ומנוסחת בשפה של אפסילון ודלתא (ראו להלן). השנייה, על-פי היינה, מבוססת על התנהגות של סדרות.

גבול בנקודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

LimitDefinition.png

תהא \,f פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של \ x_0 (אך לא בהכרח בנקודה \ x_0 עצמה).

נוסח ראשון (בלשון \varepsilon-\delta):
לפונקציה \,f יש גבול \ L בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שאם -\ 0 < |x-x_0| < \delta אזי |f(x)-L| < \varepsilon.
נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):
לפונקציה \,f יש גבול \ L בנקודה \ x_0 אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n\to x_0 ו-\ x_n\ne x_0 מתקיים \ f(x_{n})\to L.

כאמור לעיל, שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים \lim_{x \to x_0}f(x)=L.

אפיון גבול של פונקציה לפי קושי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנאי קושי הוא אפיון שקול לגבול של פונקציה בנקודה. פונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה, היא פונקציה שאם המרחק בין כל שני איברים בתחום שלה קטן מגודל נתון אז גם המרחק בין כל שני ערכי הפונקציה של איברים אלה קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שלמרות שפונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול של הפונקציה, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע קיום גבול של פונקציה בנקודה מבלי להתייחס לגבול עצמו, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

הגדרה: לפונקציה \,f יש גבול \ L בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שלכל x,y, אם -\ 0 < |x-x_0| < \delta וגם \ 0 < |y-x_0| < \delta אזי |f(x)-f(y)| < \varepsilon.

גבול אינסופי בנקודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון \varepsilon-\delta):
הפונקציה \,f שואפת לאינסוף בנקודה \ x_0 אם לכל \ T>0 (גדול כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שלכל -\ 0<|x-x_0|<\delta מתקיים \ f(x)>T.
נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):
הפונקציה \,f שואפת לאינסוף בנקודה \ x_0 אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n \to x_0 ו-\ x_n\ne x_0 מתקיים \ f(x_{n})\to \infin.

שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים \lim_{x \to x_0}f(x)=\infin. באופן דומה ניתן להגדיר שאיפה למינוס אינסוף כאשר בנוסח הראשון ההבדל מתבטא בכך ש\ T<0 וש\ f(x)<T, ובנוסח השני מתקיים \ f(x_{n})\to - \infin.

הגדרת הגבול מימין והגבול משמאל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה בלשון \varepsilon-\delta:

א. לפונקציה \,f יש גבול מימין \ L בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שאם \ x_0 < x < x_0+\delta אזי |f(x)-L| < \varepsilon. מסמנים זאת כך: \lim_{x \to x_0^+}f(x)=L.
ב. לפונקציה \,f יש גבול משמאל \ L בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שאם \ x_0 > x > x_0-\delta אזי |f(x)-L| < \varepsilon. מסמנים זאת כך: \lim_{x \to x_0^-}f(x)=L.

גבול באינסוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

גבול סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Limit-at-infinity-graph.png
נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון \varepsilon-\delta):
לפונקציה \,f יש גבול סופי \ L כאשר \ x \to \infin אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ S>0 מתאים כך שלכל -\ x>S מתקיים |f(x)-L| < \varepsilon.
נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):
לפונקציה \,f יש גבול סופי \ L כאשר \ x \to \infin אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n\to \infin מתקיים \ f(x_{n})\to L.

באופן דומה ניתן להגדיר גבול כאשר \ x \to - \infin, כאשר ההבדלים בהגדרה בנוסח הראשון הם: \ S<0 ו\ x<S , ובנוסח השני \ x_n\to - \infin.

גבול אינסופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון \varepsilon-\delta):
הפונקציה \,f שואפת לאינסוף כאשר \ x \to \infin אם לכל \ T>0 (גדול כרצוננו) קיים \ S>0 מתאים כך שלכל -\ x>S מתקיים \ f(x)>T.
נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):
הפונקציה \,f שואפת לאינסוף כאשר \ x \to \infin אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n\to \infin מתקיים \ f(x_{n})\to \infin.

גם כאן ניתן להגדיר באופן דומה עבור גבולות השואפים למינוס אינסוף ועבור גבולות ב\ x \to - \infin.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]