גבול (טופולוגיה)

בטופולוגיה, גבול של סדרה הוא הכללה חשובה של מושג הגבול מן החשבון האינפיניטסימלי. בעוד שההגדרות הקשורות בגבולות של סדרות ממשיות טובות כמעט ללא שינוי לסדרות בכל מרחב מטרי, הרי שבמרחב טופולוגי כללי יש צורך להחליף אותן בהגדרות כלליות יותר.

הגדרה

יהי X מרחב טופולוגי. נקודה $x \in X$ היא גבול של הסדרה ${x_n}$ אם בכל סביבה של x נמצאים כמעט כל אברי הסדרה. במרחב מטרי, אפשר לנסח את ההתכנסות במונחי המטריקה: הסדרה ${x_n}$ מתכנסת ל-$x$ אם לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים אינדקס טבעי N כך שלכל k > N מתקיים $d({x_k},x)<\varepsilon$.

אחת הדרכים לאפיין מרחבי האוסדורף היא שגבול של סדרה במרחב כזה, כאשר הוא קיים, הוא יחיד.

ראו גם

• גבול של סדרה

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.