דינמיקה קוונטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפתחות בזמן של פונקציית גל של חלקיק בקופסה

דינמיקה קוונטית היא תחום פיזיקלי העוסק בהתפתחות בזמן של מערכת קוונטית.

אופרטור ההתפתחות בזמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

האובייקט המרכזי בדינמיקה הקוונטית הוא אופרטור ההתפתחות בזמן. אופרטור זה מקדם (באופן שיפורט להלן) את המערכת הפיזיקלית ממצבה ההתחלתי הנתון בזמן כלשהו \ t_0 לזמן מאוחר יותר \ t>t_0 [1]. אופרטור זה מסומן לרוב ב-\ U(t,t_0) . כאשר \ t_0=0 מקצרים פעמים רבות את הסימון ל-\ U(t) . לאופרטור התכונות הבאות:

  • \ U(t,t_0) אופרטור אוניטרי (כמו כל אופרטור המייצג טרנספורמציה פיזיקלית של מערכת שאמורה לשמר הסתברות).
  • תכונת ההרכבה - \ U(t_2,t_0) = U(t_2,t_1) U(t_1,t_0) (שני צעדי קידום מ\ t_0 ל\ t_1 ואז מ\ t_1 ל\ t_2 שקולים לצעד גדול מ\ t_0 ל\ t_2 )
  •  \lim_{t\rightarrow t_0} U(t,t_0) = 1 (רציפות - אם עבר זמן קצר המערכת משתנה רק מעט)

משוואת שרדינגר[עריכת קוד מקור | עריכה]

על ידי שימוש בתכונות הנ"ל ניתן להראות כי אופרטור ההתפתחות בזמן מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה, המכונה משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן:

 i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0)= \mathcal{H}(t) U(t,t_0)

כאשר \hbar הוא קבוע פלנק המצומצם ו-\mathcal{H}(t) הוא אופרטור הרמיטי בעל ממדים של אנרגיה, המזוהה עם ההמילטוניאן.

פתרון משוואת שרדינגר[עריכת קוד מקור | עריכה]

צורת הפתרון של משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן תלויה בצורת ההמילטוניאן.

  • אם ההמילטוניאן לא תלוי בזמן \left(\mathcal{H}(t)=\mathcal{H} \right) :

 U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}(t-t_0) \right)

  • אם ההמילטוניאן תלוי בזמן אך חילופי עם עצמו בזמנים שונים \left([\mathcal{H}(t_1),\mathcal{H}(t_2)]=0\right) :

 U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}(t^\prime)dt^\prime\right)

  • אם ההמילטוניאן תלוי בזמן ולא מתחלף עם עצמו בזמנים שונים - במקרה זה אופרטור ההתפתחות בזמן נתון על ידי טור דייסון‏[2]:

U(t,t_0)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n\mathcal{H}(t_1)\mathcal{H}(t_2)\cdots\mathcal{H}(t_n)

זהו פתרון פורמלי ששימושי בעיקר במקרים פשוטים של המילטוניאן שאינו תלוי בזמן. כאשר ההמילטוניאן תלוי בזמן יש לרוב להשתמש בשיטות קירוב שונות.

תמונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לשאלה כיצד מקדם אופרטור ההתפתחות בזמן את המערכת אין תשובה חד משמעית. קיימות מספר אינטרפטציות המכונות תמונות באשר לפעולת אופרטור זה. תמונות אלו שקולות מבחינת הפיזיקה שהן מתארות‏[3] וניתן להשתמש בכל אחת מהן על פי הצורך והנוחות.

תמונת שרדינגר[עריכת קוד מקור | עריכה]

התמונה האינטואיטיבית ביותר היא תמונת שרדינגר. בתמונה זו, אופרטור ההתפתחות בזמן פועל על המצבים ומקדם אותם בזמן. בהינתן מצב התחלתי |\psi(t_0)\rang הוא יתפתח למצב:

|\psi(t)\rang = U(t,t_0) |\psi(t_0)\rang

בתמונה זו האופרטורים מייצגים גדלים מדידים קבועים בזמן (למעט תלות מפורשת).

בעזרת שימוש במשוואת שרדינגר לאופרטור ההתפתחות בזמן ובאופן שבו הנ"ל פועל על המצבים ניתן לראות כי המצבים מקיימים את משוואת שרדינגר:

 i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang= \mathcal{H} |\psi(t)\rang

אם עובדים בבסיס המקום מקבלים את משוואת שרדינגר לפונקציית הגל:

 i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec x,t)= \mathcal{H} \psi(\vec x,t)

תמונת שרדינגר שימושית במיוחד כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן ועובדים בבסיס האנרגיה - \mathcal{H}|n\rang=E_n|n\rang. במקרה זה עבור מצב התחלתי |\psi(t_0)\rang = \sum_n c_n |n\rang , נקבל כי:

|\psi(t)\rang = \sum_n c_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_nt}|n\rang

במקרה בו המערכת מתחילה ממצב עצמי של ההמילטוניאן היא תשאר במצב זה (המצב יוכפל בפאזה שאינה משפיעה).

תמונת הייזנברג[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתמונת הייזברג מצב המערכת קבוע בזמן  |\psi(t)\rang= |\psi(t_0)\rang, ולעומת זאת האופרטורים מתפתחים בזמן על פי:

A_H(t)=U^{\dagger}(t,t_0) A(t_0) U(t,t_0)

בזמן \ t_0 תמונות הייזנברג ושרדינגר מתלכדות, כלומר: |\psi\rang_H = |\psi(t_0)\rang_S\ , \ A_H(t_0)=A_S, כאשר האינדקסים H,S מסמנים מצבים ואופרטורים בתמונות שרדינגר והייזנברג בהתאמה.

ניתן להראות כי בתמונת הייזנברג, האופרטורים מקיימים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

\frac{dA_H}{dt} =\frac{1}{i\hbar} \left[A_H,\mathcal{H}\right]+\frac{\partial A}{\partial t}

משוואה זו דומה בצורה למשוואת התנועה של הגודל הקלאסי המתואר על ידי האופרטור \ A ומסיבה זו מכונה לעתים "משוואת התנועה של האופרטור". על ידי שימוש במשוואה קל לחשב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים (ראו משפט ארנפסט) ולקבל חוקי שימור (כל אופרטור המתחלף עם ההמילטוניאן יתן קבוע תנועה).

תמונת האינטראקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתמונה זו מפרידים את ההמילטוניאן לשני חלקים \mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + V , כאשר \mathcal{H}_0 אינו תלוי בזמן ואילו \ V "אינטראקציה" שיכולה להיות תלויה בזמן. המצבים והאופרטורים בתמונת האינטראקציה מוגדרים על ידי:

|\psi(t)\rang_I = U^{\dagger}(t,t_0)|\psi(t)\rang_S = e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t}|\psi(t)\rang_S

כלומר פונקציית הגל בתמונת האינטרקציה תהיה ההתקדמות של פונקציית הגל אך ורק בהשפעת ההפרעה התלויה בזמן.

 A_I(t) = e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t} A_S e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t}

והם מקיימים את המשוואות:

 i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang_I= V_I |\psi(t)\rang_I

\frac{dA_I}{dt} =\frac{1}{i\hbar} \left[A_I,\mathcal{H}_0\right]+\frac{\partial A_I}{\partial t}

בתמונה זו משתמשים במסגרת תורת ההפרעות התלויה בזמן.

המשמעות היא שבתמונת האינטראקציה יש שילוב של פונקציית גל שמתפתחת בזמן (לפי תמונת שרדינגר) ואופרטורים שמתפתחים בזמן (לפי משוואת הייזנברג).

קירובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חישובים מדויקים של התפתחות בזמן ניתן לבצע באופן כללי רק עבור מערכת בעלת המילטוניאן בלתי תלוי בזמן. עבור מערכות עם המילטוניאן תלוי בזמן יש צורך להיעזר בשיטות קירוב שונות, כגון: תורת ההפרעות התלויה בזמן, קירובים אדיאבטיים ועוד.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ יש לציין כי שינוי במערכת הנגרם עקב פעולת מדידה אינו מתואר באמצעות אופרטור ההתפתחות בזמן
  2. ^ או על ידי אקספוננט סדור בזמן
  3. ^ מתמטית - כל אלמנטי המטריצה שווים בתמונות השונות