דרגה (אלגברה לינארית)

ערך זה עוסק בדרגה בהקשר של אלגברה לינארית. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו דרגה (פירושונים).

באלגברה לינארית, דרגת העמודות $\ \rho_{C}(A)$ של מטריצה $A$ מוגדרת להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי תלויים לינארית מבין עמודות המטריצה. באופן דומה, דרגת השורות $\ \rho_{R}(A)$ של $\ A$ היא ממד מרחב השורות שלה.

דרגת העמודות שווה תמיד לדרגת השורות של המטריצה, ולכן מקובל לקרוא לערך המשותף שלהן דרגת המטריצה $\ A$ ולסמנו $\ \mbox{rank}\left(A\right)$.

הדרגה של מטריצה $m \times n$ היא לכל היותר $\min(m,n)\,\!$. מטריצה שדרגתה שווה לערך מקסימלי זה נקראת מטריצה מדרגה מלאה. מטריצה שדרגתה נמוכה יותר נקראת מטריצה מדרגה חסרה.

משפטים הקשורים לדרגה

• במטריצה מסדר $n \times n$:
  • דרגת המטריצה קטנה מ-$\ n$ אם ורק אם הדטרמיננטה שווה לאפס.
  • דרגת המטריצה שווה ל-$\ n$ אם ורק אם המטריצה מטריצה רגולרית (הפיכה).
• למערכת משוואות לינאריות קיים פתרון, אם ורק אם דרגת מטריצת המקדמים שלה שווה לדרגת מטריצת המקדמים המצומצמת שלה.
• יהי $\ P$ מרחב הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות הומוגנית A ב-$\ n$ משתנים, אז $\ \mbox{rank}\left(A\right)=n-\dim\left(P\right)$
• אם $V$ ו-$W$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה $\mathbb{F}$ ו-$T:V \to W$ היא העתקה לינארית, מגדירים את הדרגה של $T$ להיות הממד של התמונה שלה: $\mbox{rank}\left(T\right)=\dim\mbox{Im}\left(T\right)$. אם $V$ ו-$W$ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים ו-$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבחירה כלשהי של בסיסים על $V$ ו-$W$, אז מתקיים $\mbox{rank}\left(T\right)=\mbox{rank}\left(A\right)$, ללא תלות בבסיסים שנבחרו. לכן במקרה הסוף-ממדי, דרגה של מטריצה ודרגה של העתקה לינארית הם מושגים שקולים.

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.