ד'אלמברטיאן

במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן , המסומל באמצעות $\scriptstyle\Box$ ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה-רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.

בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:

$\begin{align} \Box & = \partial_\mu \partial^\mu = g_{\mu\nu} \partial^\nu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 \end{align}$

כאשר $g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$ היא מטריקת מינקובסקי ו-$\nabla^2$ הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.

שימושים

• משוואת קליין-גורדון נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$(\Box + m^2) \psi = 0. \,$

כאשר $\psi\,$ היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-$m\,$ היא מסת החלקיק.

• משוואת הגלים האלקטרומגנטיים בריק נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$\Box A^{\mu} = 0$

כאשר $A^{\mu} =( \phi, \vec A )$ הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.

• משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:

$\Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0\,$

כאשר $u\left(x,t\right)\,$ זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.

• פונקציית גרין $G(x-x')\,$ עבור הד'אלמברטיאן מקיימת:

$\Box G(x-x') = \delta(x-x')$

כאשר $\delta(x-x')\,$ היא פונקציית דלתא של דיראק ו-$x\,$ ו-$x'\,$ הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:

$G(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi} \Theta(t) \delta(t^2 - x^2 - y^2 - z^2)$

כאשר $\,\Theta$ היא פונקציית מדרגה.