האינוולוציה הסימפלקטית

באלגברה לינארית, האינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות מסדר $\ 2m\times 2m$ היא ההעתקה $\ \operatorname{M}_{2m}(F) \rightarrow \operatorname{M}_{2m}(F)$ המוגדרת לפי $\ \left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right)^s = \left(\begin{array}{cc}D^t & -B^t \\ -C^t & A^t\end{array}\right)$, כאשר $\ A,B,C,D$ הם בלוקים בגודל $\ m\times m$ במטריצה, ו-$\ X^t$ מסמן את המטריצה המשוחלפת של הבלוק $\,X$.

האינוולוציה הסימפלקטית של אלגברת המטריצות היא אינוולוציה, כלומר, העתקה שומרת חיבור והופכת סדר בכפל, שהפעלתה פעמיים נותנת את העתקת הזהות. בניגוד לאינוולוציה האורתוגונלית $\ X \mapsto X^t$ על $\ \operatorname{M}_{n}(F)$, שבה מרחב המטריצות הסימטריות הוא ממימד $\ \frac{n(n+1)}{2}$ ומימד מרחב המטריצות האנטי-סימטריות הוא מהמימד המשלים $\ \frac{n(n-1)}{2}$, באינוולוציה הסימפלקטית המצב הפוך.

כל אינוולוציה של אלגברה פשוטה מרכזית ההופכת להיות סימפלקטית לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול, נקראת "אינוולוציה סימפלקטית". לדוגמא, האינוולוציה הסטנדרטית של אלגברת קווטרניונים $\ Q = F[x,y | yx=-xy, x^2 = a, y^2 = b]$, המוגדרת לפי $\ \overline{\alpha+\beta x+ \gamma y+ \delta xy} = \alpha - \beta x - \gamma y - \delta xy$, היא סימפלקטית (משום שמימד האברים הסימטריים הוא 1).