האלגוריתם של קרוסקל

האלגוריתם של קרוסקל הוא אלגוריתם חמדן לפתרון בעיית מציאת עץ פורש מינימלי בגרף ממושקל לא מכוון, שתואר לראשונה במאמר של ג'וזף קרוסקל בשנת 1956.

כלומר, המטרה היא למצוא תת קבוצה של הקשתות שתיצור עץ המכיל את כל הקודקודים המקוריים, כאשר סכום משקלי הקשתות בתת-קבוצה זו הינו מינימלי.

לפי אלגוריתם זה, כדי לבחור את הקשתות שיימצאו בעץ פורש מינימלי, יש למיין לפי משקליהן תחילה. אחר כך יש ליטול לפי הסדר קשת אחר קשת ולהוסיפה לתת הגרף, מהקשת המינימלית עד לקשת הגדולה ביותר במשקלה, כל עוד לא ייווצר מעגל בגרף המתקבל. תת הגרף שמתקבל לבסוף הוא עץ פורש מינימלי.

האלגוריתם הוא חמדן, כיוון שבכל צעד נבחרת הפעולה הנראית אופטימלית באותו שלב - נוטלים את הקשת שמשקלה הקטן ביותר.

סיבוכיות האלגוריתם מושפעת בעיקר מהצורך למיין את הקשתות בתחילת הפעלתו, ועל כן היא חסומה על ידי $\ O(E \log E) \le O(E \log (V^2)) = O(E \log V)$ במקרה הכללי – הסיבוכיות המינימלית למיון מבוסס השוואות של $\ E$ איברים, כאשר $\ E$ הוא מספר הקשתות בגרף. עם זאת, במקרה והקשתות כבר ממויינות או שניתן למיין אותן בזמן לינארי, זמן הריצה יהיה $\ \Theta(E\ \alpha(E,V))$.

דוגמה

תמונה	תיאור
	זה הגרף המקורי שלנו. המספרים ליד הקשתות מציינים את משקלן, אף קשת לא מודגשת.
	הקשתות AD ו-CE שמשקלן 5 הן הקלות ביותר. AD נבחרה באופן שרירותי והודגשה.
	כעת CE שמשקלה 5 היא הקשת הקלה ביותר שאינה סוגרת מעגל, ולכן מודגשת.
	הקשת הקלה ביותר הבאה שאינה סוגרת מעגל היא DF שמשקלה 6.
	כעת הקשתות הקלות ביותר הן AB ו-BE שאורכן 7. AB נבחרת באופן שרירותי ומודגשת. הקשת BD נצבעת באדום כיוון שכבר קיים מסלול בין B ל-D (בירוק), ולכן היא תיצור מעגל (ABD) אם תיבחר.
	התהליך ממשיך ו-BE נצבעת בירוק. בשלב זה מספר קשתות נצבעות באדום: BC (כי היא תיצור את המעגל BCE), הקשת DE (כי היא תיצור את המעגל DEBA), ו-EF (שתיצור את המעגל FEBAD).
	לבסוף, התהליך מסתיים עם בחירת הקשת EG שמשקלה 9, ומציאת עץ פורש מינימלי (בירוק).

ראו גם

• האלגוריתם של פרים