הבינום של ניוטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
"משולש פסקל", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13, יאנג חווי

במתמטיקה, הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים. הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר כיאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3. את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא.

נוסחת הבינום עבור חזקה שלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם n מספר שלם, אז לכל x ו-y מתקיים (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}, כאשר {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} הם מקדמי הבינום. המקדמים מרכיבים יחד את משולש פסקל.

ארבעת המקרים הראשונים של הנוסחה הם:

\ (x+y)^1=x+y
\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
\ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
\ (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

למקדם הבינומי {n \choose k} יש משמעות קומבינטורית פשוטה: זהו מספר האפשרויות לבחור \ k איברים מתוך \ n, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית, נשים לב כי \ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot\dots\cdot(x+y). באגף ימין מופיעים \ n ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, \ (x+y)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+x\cdot y +y\cdot x+y\cdot y=x^2+2xy+y^2, כשבוחרים את האיבר \ x מהסוגריים הראשונים ו-\ x מהשניים, \ x מהסוגריים הראשונים ו-\ y מהשניים, וכן הלאה.

מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי \ x^ky^j מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש \ {n\choose k} אפשרויות, ולכן זהו המקדם של \ x^ky^{n-k}.

הוכחה באינדוקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

צריך להוכיח: (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^kb^{n-k}

בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0): (a+b)^1=\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}.

\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}={1 \choose 0}a^0b^1+{1 \choose 1}a^1b^0=b+a.

הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i : (a+b)^i=\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}.

ונוכיח נכונות עבור n=i+1: (a+b)^{i+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i+1-k}.

הוכחה: \ (a+b)^{i+1}=(a+b)^i(a+b) . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את \ (a+b)^i ב- \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}

(a+b)\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}=a\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}+b\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}=

\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=1}^{i+1} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+

\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}={i \choose i}a^{i+1}b^0+\sum_{k=1}^{i} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+{i \choose 0}a^0b^{i+1}+

\sum_{k=1}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^i\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^kb^{i-k+1}=

a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^{i} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}

המקרה הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים \ (1+x)^r = \sum_{j=0}^\infty {r \choose j} x^{j}, כאשר \ {r \choose j} = \frac{r (r-1) \cdots (r-j+1)}{j !}. זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. אם r שלם, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי (x+y)^r = x^r(1+\tfrac yx)^r.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:

\ (1+x) ^ \frac{1}{2} = \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 +\dots

עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי: \ (1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת \ f(z) = (1+z)^r.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גדי אלכסנדרוביץ', הבינום של ניוטון, באתר "לא מדויק"