הבינום של ניוטון

"משולש פסקל", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13, יאנג חווי

במתמטיקה, הבינום של ניוטון הוא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים. הנוסחה עבור חזקה שלמה היתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר כיאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3. את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא.

נוסחת הבינום עבור חזקה שלמה

אם n מספר שלם, אז לכל x ו-y מתקיים $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}$, כאשר ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ הם מקדמי הבינום. המקדמים מרכיבים יחד את משולש פסקל.

ארבעת המקרים הראשונים של הנוסחה הם:

$\ (x+y)^1=x+y$

$\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$\ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

$\ (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$

למקדם הבינומי ${n \choose k}$ יש משמעות קומבינטורית פשוטה: זהו מספר האפשרויות לבחור $\ k$ איברים מתוך $\ n$, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.

הוכחה

ראשית, נשים לב כי $\ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot\dots\cdot(x+y)$. באגף שמאל מופיעים $\ n$ ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, $\ (x+y)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+x\cdot y +y\cdot x+y\cdot y=x^2+2xy+y^2$, כשבוחרים את האיבר $\ x$ מהסוגריים הראשונים ו-$\ x$ מהשניים, $\ x$ מהסוגריים הראשונים ו-$\ y$ מהשניים, וכן הלאה.

מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי $\ x^ky^j$ מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש $\ {n\choose k}$ אפשרויות, ולכן זהו המקדם של $\ x^ky^{n-k}$.

הוכחה באינדוקציה

צריך להוכיח: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^kb^{n-k}$

בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0): $(a+b)^1=\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}$.

$\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}={1 \choose 0}a^0b^1+{1 \choose 1}a^1b^0=b+a$.

הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i : $(a+b)^i=\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}$.

ונוכיח נכונות עבור n=i+1: $(a+b)^{i+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i+1-k}$.

הוכחה: $\ (a+b)^{i+1}=(a+b)^i(a+b)$ . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את $\ (a+b)^i$ ב- $\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}$

$(a+b)\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}=a\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}+b\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}=$

$\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=1}^{i+1} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+$

$\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}={i \choose i}a^{i+1}b^0+\sum_{k=1}^{i} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+{i \choose 0}a^0b^{i+1}+$

$\sum_{k=1}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1}=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^i\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^kb^{i-k+1}=$

$a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^{i} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}$

המקרה הכללי

ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים $\ (1+x)^r = \sum_{j=0}^\infty {r \choose j} x^{j}$, כאשר $\ {r \choose j} = \frac{r (r-1) \cdots (r-j+1)}{j !}$. זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. אם r שלם, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי $(x+y)^r = x^r(1+\tfrac yx)^r$.

דוגמאות

עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:

$\ (1+x) ^ \frac{1}{2} = \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 +\dots$

עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי: $\ (1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$

הוכחה

הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת $\ f(z) = (1+z)^r$.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: נוסחאת הכפל המקוצר

גדי אלכסנדרוביץ', הבינום של ניוטון, באתר "לא מדויק"