הבעיה השביעית של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הבעיה השביעית מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900 עוסקת במספרים טרנסצנדנטיים. הבעיה מורכבת משתי שאלות:

הילברט מציין שחקר השאלות הללו בפתח המאה ה-20 מתבקש בעקבות ההישיגים של שארל הרמיט (שהוכיח את הטרנסצנדנטיות של e) ושל פרדיננד לינדמן (שהוכיח את משפט לינדמן ואת הטרנסצנדנטיות של פאי) בסוף המאה ה-19. הוא מנבא שההוכחה לטענות תהיה קשה מאוד ודרך לפתרון הבעיה יביא לפיתוחן של שיטות חדשות לחלוטין בחקר המספרים האי-רציונליים והמספרים הטרנסצנדנטיים.

הבעיה נפתרה על ידי אלכסנדר גלפונד ב-1934, ובאופן בלתי תלוי על ידי תאודור שניידר ב-1935. התשובה החיובית לבעיה נקראת על שמם משפט גלפונד-שניידר.

הקשר בין השאלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פתרון חיובי של השאלה השנייה פותר לחיוב גם את שאלה הראשונה. הילברט ציין כי השאלה הראשונה היא למעשה ניסוח גאומטרי לשאלה, האם \ e^{i\pi x} מספר טרנסצנדנטי כאשר x מספר אלגברי אי-רציונלי. זאת בשל הקשר ההדוק בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציית האקספוננט המתבטא בנוסחת אוילר. לפי זהות אוילר \ e^{i\pi x} = (-1)^x, לכן זהו מקרה פרטי של השאלה השנייה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]