הדלתא של קרונקר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הדלתא של קרונקר היא סימון שימושי ביותר באלגברה לינארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.

הדלתא של קרונקר מוגדרת על ידי


\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & \mbox{if } i=j  \\ 
0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.

כלומר זו פונקציה של שני משתנים, בדרך כלל שלמים, המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה. הדלתא של קרונקר קרויה על שמו של המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19, לאופולד קרונקר.

משמעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
  • אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום ש \ Id = I = \delta_{i,j}.
  • כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה \delta_i^j כאשר אחד האינדקסים הוא קו-ואריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סימטריה ביחס לאינדקסים: \ \delta_{i,j} = \delta_{j,i}
  • מבצע שינוי אינדקסים: \ \sum_{i}{\delta_{i,j}A_i} = A_j
  • זהות העקבה: \ \sum_{i=1}^{n}{\delta_{i,i}} = n

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]