חוק המספרים הגדולים

בסטטיסטיקה, חוק המספרים הגדולים הוא שמם המשותף של שני משפטים העוסקים בהתנהגות הממוצע במדגמים גדולים, הנקראים החוק החלש והחוק החזק. משפט הגבול המרכזי מספק תאור מדוייק יותר של התנהגות הממוצע, אבל חוקי המספרים הגדולים חלים במקרים כלליים יותר.

החוק החלש

לפי החוק החלש של המספרים הגדולים, סדרת הממוצעים מתכנסת בהסתברות אל התוחלת, כלומר, הסיכוי של הממוצע להיות רחוק מן התוחלת שואף לאפס כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף. ניתן להסיק את החוק מאי שוויון צ'בישב.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי מתואמים (לאו דווקא בלתי תלויים), בעלי אותה תוחלת $\ \mu$, ובעלי שונות חסומה. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$. החוק החלש של המספרים הגדולים קובע שלכל $\ \varepsilon>0$, מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$, כלומר: ההסתברות שהממוצע יהיה רחוק מן התוחלת, שואפת לאפס.

החוק החזק

החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שסדרת הממוצעים מתכנסת כמעט בוודאות, ושגבולה הוא התוחלת. מהתכנסות כמעט בוודאות הנובעת מהחוק החזק אפשר להסיק את החוק החלש; מצד שני, ההתכנסות בהתפלגות של $\ \frac{1}{\sqrt{n}}(X_1+\cdots+X_n)$ שאותה מבטיח משפט הגבול המרכזי, גוררת התכנסות כמעט בוודאות של הממוצעים.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות סופית. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$. החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שבהסתברות 1, מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} \bar{X}_n=\mu$.

המתמטיקאי יליד רוסיה אנדריי קולמוגורוב (1903-1987), הראה שהמשפט מתקיים גם אם המשתנים אינם שווי התפלגות, ובלבד שיש להם אותה תוחלת, ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור $\ \sum\frac{V(X_n)}{n^2}$ מתכנס.

ראו גם

• משפט הגבול המרכזי
• חוק המספרים הקטנים

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, חוק המספרים הגדולים, באתר "נסיכת המדעים"