הטלה סטריאוגרפית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Projection azimutale stereographique.jpg
הטלה סטריאוגרפית ממעגל ברדיוס R לקו ישר המשיק לו. בקואורדינטות קרטזיות נקודת ההשקה היא (0,0) והקו המשיק הוא ציר ה-x.

בגאומטריה, הטלה סטריאוגרפית היא העתקה מספירה למישור המשיק לה (או העובר דרך מרכז הספירה) על ידי התאמת כל נקודה על הספירה x עם הנקודה (היחידה) על המישור שנמצאת על הקו הישר שעובר דרך הנקודה x ומרכז ההטלה N שהוא הנקודה האנטיפודית לנקודת ההשקה של המישור עם הספירה. ההטלה הסטריאוגרפית יוצרת התאמה בין נקודות על ספירה, שאותן קשה לתאר על ידי קואורדינטות נוחות, לבין נקודות בקו ישר או במישור- שאותן קל לתאר על ידי קואורדינטות, ומשום כך משמשת גם בקרטוגרפיה.

ההטלה הסטריאוגרפית לא מוגדרת על מרכז ההטלה (הנקודה האנטיפודית לנקודת ההשקה) אבל ניתן לראות את ההטלה כמעבירה את הנקודה הזו לנקודת האינסוף, בהתאמה עם הגבול של ההטלה עבור סדרת נקודות שמתקרבות למרכז ההטלה.
במובן הזה, נקודת האינסוף היא חסרת כיוון. לדוגמה, בהטלה הסטריאוגרפית ממעגל לקו ישר נקודות הקרובות למרכז ההטלה יעברו לנקודות שמרחקן מנקודת ההשקה גדול כרצוננו, אך הן לא יוגבלו בכיוונן- הן יעברו גם לנקודות רחוקות מאוד מימין וגם לנקודות רחוקות מאוד משמאל לנקודת ההשקה, ולא נבחין בין הכיוונים כמו שנהוג בחשבון האינפיניטסימלי על ידי הסימונים \ +\infty ו \ -\infty.

ההטלה הסטריאוגרפית היא הומאומורפיזם בין הספירה ה-n ממדית (למעט מרכז ההטלה) לבין המרחב האוקלידי ה-n ממדי (שמוכל במרחב האוקלידי ה-n+1 ממדי), כאשר הטופולוגיה של הספירה מוגדרת על ידי הטופולוגיה המושרית עליה מהמרחב האוקלידי בו היא נמצאת. בצורה הזו ניתן לראות את הספירה כיריעה חלקה ואף אנליטית.

ההטלה הסטריאוגרפית היא קונפורמית, כלומר משמרת זוויות. בנוסף ההטלה מעבירה מעגלים על הספירה למעגלים במישור, אם המעגל לא עבר דרך מרכז ההטלה, ולישרים, אם המעגל כן עבר זה מרכז ההטלה. באופן הזה ניתן לחשוב על ישרים כמעגלים בעלי רדיוס אינסופי, או לחלופין כמעגלים העוברים דרך נקודת האינסוף.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הספירה של רימן