הטלה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסתכל בווקטור ב-\mathbb{R}^3 אותו אפשר לרשום כ-\  v = (v_x , v_y , v_z) = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z} , אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור \hat{x} תחזיר P_x v = v_x \hat{x}. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: \ P^2_x v = P_x (v_x \hat{x}) = v_x \hat{x} אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל \ P_{yz} v = v_y \hat{y} + v_z \hat{z}. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי V מרחב וקטורי ותהיP: V\rightarrow V העתקה לינארית. \ P תיקרא הטלה על תת-מרחב של \ V אם \ P^2 = P. איבר באלגברה המקיים P^2 = P נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול אם נחלק את V לסכום ישר של תתי-מרחב V= U\oplus W, אזי לכל וקטור v \in V קיימים u \in U ו- w \in W כך ש v=u+w. נאמר שההעתקה הלינארית E: V \to V היא הטלה על W אם היא מקיימת E(v)=w.


ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי V מרחב וקטורי עם הטלות E_1, E_2,...,E_k על תתי-המרחב W_1, W_2,...,W_k בהתאמה אזי לכל 1\le i \le k מתקיים:

  1. E_i^2=E_i
  2. E_iE_j=0 לכל i \ne j
  3. ImE_i = W_i
  4. V=KerE_i \oplus ImE_i
  5. E_i ניתנת ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
  6. יהי T: V \to V העתקה לינארית, אזי תתי-המרחב W_i הינם תתי-מרחב שמורי T אם ורק אם TE_i=E_iT (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.