הטלה (מתמטיקה)

באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-$\mathbb{R}^3$ אותו אפשר לרשום כ-$\ v = (v_x , v_y , v_z) = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}$ , אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור $\hat{x}$ תחזיר $P_x v = v_x \hat{x}$. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: $\ P^2_x v = P_x (v_x \hat{x}) = v_x \hat{x}$ אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל $\ P_{yz} v = v_y \hat{y} + v_z \hat{z}$. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb{F}$. תהי$P: V\rightarrow V$ העתקה לינארית. $\ P$ תיקרא הטלה על $\ V$ אם $\ P^2 = P$. איבר באלגברה המקיים $P^2 = P$ נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

כל הטלה אפשר ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.