הכללה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הכללה היא מאבני היסוד של הפעילות המתמטית. הכללה פירושה לקיחת עצם מתמטי מסוים, ומעבר ממנו לעצם כללי יותר, שהעצם שממנו יצאנו מהווה מקרה פרטי שלו.

מושג B מהווה הכללה של מושג A כאשר:

  • כל מופע של המושג A הוא גם מופע של המושג B.
  • יש מופע של המושג B שאיננו מופע של המושג A.

יתרונה הבולט של ההכללה היא בכך שהיא עוברת מהדיון במושג הפרטי, המצומצם, למושג כללי, ובכך מאפשרת את יישומו של הידע שנצבר אודות המושג המצומצם בעולם המקיף יותר שבו חל המושג הכללי. בנוסף, ההתעסקות ב"תמונה הגדולה" מאפשרת לעתים לגלות מידע חדש על המושג הפרטי, שעד אז היה קשה להבחין בו בשל ריבוי הפרטים הלא רלוונטיים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה מפורטת[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתחיל מטענה פשוטה אודות מספרים ונכליל אותה:

  • 6 מתחלק ב-3.

זהו טענה פשוטה וידועה לכל. ניתן להכליל אותה לטענה הבאה:

טענה זו נכונה משום ש-a^3-a=a(a-1)(a+1). זוהי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ולכן בהכרח אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כך גם המכפלה כולה. אם נציב a=2 נקבל את הטענה ש-6 מתחלק ב-3, ממנה התחלנו.

משפט זה מכליל את הטענה הקודמת שמתקבלת מהמשפט כאשר מציבים p=3.

משפט אוילר מכליל את המשפט הקטן של פרמה. שכן אם נקח את n להיות ראשוני p, אז \phi (p)=p-1, ונקבל a^{p-1}-1 מתחלק ב-p. לאחר כפל ב-a מתקבל הנוסח המוכר של המשפט הקטן של פרמה.

עד כה עסקנו במספרים טבעיים. אך ההכללה הבאה תחשוף את הטבע האמיתי של הטענות שעסקנו בהן, שיש להן משמעות אלגברית עמוקה.

טענה זו מכלילה את משפט אוילר, משום שקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים וזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n (הקרויה חבורת אוילר), שהסדר שלה הוא \phi (n) ואיבר היחידה שלה הוא 1.

הטענה האחרונה היא מקרה פרטי של טענה מרכזית בתורת החבורות:

הטענה הקודמת נובעת ממשפט לגראנז' אם נקח את התת-חבורה הציקלית הנוצרת על ידי האיבר g.

על אף שכל טענה כאן חזקה יותר מזו הקודמת לה, רמת הקושי בהוכחתן אינה עולה משמעותית, ולמעשה ההוכחה של ארבע הטענות האחרונות כמעט זהה. החוכמה בהכללה היא להבין אילו תכונות של העצמים בהם עוסקים חשובות, ואילו רק מפריעות לראות את העיקר. במקרה הזה העיסוק במספרים דווקא (על כל התורה העשירה שהם מגלמים) לא היה נחוץ, וההבנה הזו היא שאפשרה להוכיח תוצאה כללית בהרבה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]