הלמה של אוריסון

הלמה של אוריסון היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פול סמואלוביץ' אוריסון (Paul Samuilovich Urysohn), ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים, נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום.

הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי, אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות A ו-B, קיימת פונקציה רציפה f מן המרחב כולו לקטע $\ [0,1]$, כך ש- $\ f(A) = 0$ ו- $\ f(B) = 1$. הלמה אינה מבטיחה הפרדה מדויקת בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם, ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי.

כל מרחב מטרי, וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרויה משפט טיטצה.

מסקנות מן הלמה

• כל מרחב T4 הוא מרחב רגולרי לחלוטין (ראו אקסיומות ההפרדה).

• משפט אוריסון: מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא נורמלי ובפרט מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה עליו את הטופולוגיה הנתונה.

הוכחת הלמה של אוריסון

רעיון ההוכחה

בין A ל-B בונים באופן אינדוקטיבי מעין טבעות בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא A מתאימה לערך 0 והטבעת האחרונה, שמחוץ לה זה B מתאימה לערך 1. עבור נקודה שלא ב-A ולא ב-B הערך ניתן באמצעות האינדקס המינימלי של הטבעת שעדיין מכילה אותו.

בניית הבצל

יהיו A ו-B סגורות וזרות. תהי $\mathbb{Q} \cap [0,1] = \{ r_n \}_{n=1}^{\infty}$ מניה של המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות") $\ \{ V_r \}_{r \in \mathbb{Q}\cap [0,1]}$ שמקיימות:

1. $\ V_0 = A \ , \ V_1 = B^c$.
2. לכל זוג רציונלים $\ \overline{ V_r} \subset V_q \Leftarrow r < q$.

האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובע מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות F פתוחה ו G סגורה כך ש $\ F \subset G$ קיימת קבוצה פתוחה V כך ש $\ F \subset V \subset \overline{V} \subset G$ (אנו אומרים שבמקרה זה אפשר להשחיל "טבעת" בין קבוצה סגורה לקבוצה פתוחה המכילה אותה).

הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה.

בניית פונקציית אוריסון

פונקציית אוריסון f מוגדרת באופן הבא:

• לכל $\ x \in A$, $\ f(x)=0$.
• לכל $\ x \in V_r$, נגדיר $\ f(x) = \inf{\left\{ r \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \ | \ x \in V_r \right\} }$.
• לכל $\ x \in B$, $\ f(x)=1$.

מכאן ברור ש $\ A \subset f^{-1}(0) \ , \ B \subset f^{-1}(1)$, נותר להוכיח ש f אכן רציפה.

הוכחה ש f רציפה

תהי W קבוצה פתוחה בקטע [0,1]. מתכונות של רציפות טופולוגית מספיק להוכיח שכל הקבוצות מהצורה $\ f^{-1}[0,t)$ ו $\ f^{-1}(t,1]$ הן פתוחה ב X.

ראשית, $\ x \in f^{-1}[0,t)$ אם ורק אם $\ f(x) < t$ (הרציפות של f בנקודה t=1 ברורה מעצם הבניה). כעת, $\ \inf{ \{ r | x \in V_r \} } < t$ אם ורק אם לכל r<t קיים ש $\ x \in V_r$.

לכן $\ f^{-1}[0,t) = \bigcup_{r < t}{V_r}$ וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות.

שנית, $\ x \in f^{-1}(t,1]$ אם ורק אם $\ t < f(x)$. כעת, $\ \inf{ \{ r | x \in V_r \} } > t$ אם ורק אם קיים t<r כך ש $\ \forall q \le r : x \notin \overline{V_q}$ אך בגלל ההכלה של "טבעות" הבצל מספיק קיום קבוצה אחת כזאת.

לכן $\ f^{-1}(t,1] = \bigcup_{t < r}{\overline{V_r}^c}$ וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות.

מכאן נובע ש f פונקציה רציפה.

בכך הושלמה ההוכחה.

ראו גם

• מרחב רגולרי לחלוטין
• מרחב נורמלי
• משפט אוריסון
• משפט טיטצה